Weiter ist nach Satz 12
,
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(2)
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und da nach dem ersten Teil des gegenwärtigen Beweises der Satz 13 auf die Zahlen
,
angewandt werden darf, so gilt die Gleichung
,
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(3)
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Aus den Formeln (1), (2), (3) folgt die Richtigkeit des Satzes 13 allgemein.
Aus Satz 13 ergeben sich für das Symbol
eine Reihe von wichtigen Formeln, die wir in folgendem Satze zusammenstellen:
Satz 14. Wenn
,
,
,
,
,
beliebige ganze Zahlen des Körpers
sind, so gelten in bezug auf irgendein zu
primes Primideal
des Körpers
stets die Formeln:
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Beweis. Die erste Formel folgt unmittelbar aus Satz 13.
Um die zweite Formel zu beweisen, nehmen wir an, es gehe das Primideal
in
,
,
bez. genau zur
-ten,
-ten,
-ten Potenz auf, und setzen dann
, ,
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so daß
ganze zu
prime Zahlen in
sind. Nach Satz 13 erhalten wir
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und diese Gleichungen zeigen die Richtigkeit der zweiten Formel.
Die dritte Formel ist eine unmittelbare Folge der ersten und zweiten.
Im Lauf der gegenwärtigen Untersuchung werden wir erkennen, daß die Formeln des Satzes 14 auch für jedes in
aufgehende Primideal des Körpers
gültig sind.