Satz 12. Es sei
ein zu
primes Primideal des Körpers
, ferner seien
,
,
,
vier ganze Zahlen in
von der Beschaffenheit, daß
das Quadrat einer ganzen oder gebrochenen Zahl in
und
die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers
wird: dann gilt stets die Gleichung
.
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Beweis. Zunächst bemerken wir, daß wegen der Definition 6 des Symbols
offenbar stets die Gleichung
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(5)
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gilt, da offenbar der durch
bestimmte relativquadratische Körper mit dem Körper
übereinstimmt.
Ferner wollen wir beweisen, daß, wenn
die Relativnorm
einer ganzen Zahl
des Körpers
ist, stets
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(6)
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ausfällt.
In der Tat, wenn
Normenrest des Körpers
nach
ist, so wird offenbar auch
Normenrest dieses Körpers nach
. Die umgekehrte Annahme, daß
Normenrest des Körpers
nach
ist, behandeln wir in folgender Weise: Es gehe
genau durch die
-te Potenz von
und
genau durch die
-te Potenz von
auf; es sei ferner
eine ganze Zahl in
, so daß die Kongruenz
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(7)
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gilt, wobei
einen beliebigen Exponenten der größer als
ist, bedeutet. Wir unterscheiden nun drei Fälle, je nachdem
im Körper
Primideal bleibt oder in zwei gleiche oder in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers
weiter zerlegbar ist.
Im ersten Falle muß wegen
der Exponent
gerade sein und
in
genau zur
-ten Potenz aufgehen; ferner erkennen wir aus (7), daß
genau durch die
-te Potenz von
teilbar sein muß. Nun sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
. Dann ist
gewiß eine ganze Zahl in
und wir erhalten
nach
. Bestimmen wir noch eine ganze Zahl
in
, so daß
nach
ausfällt, so folgt
nach
, d. h.
ist Normenrest des Körpers
nach
.
Im zweiten Falle setzen wir
, so daß
ein Primideal in
bedeutet. Wegen
geht in
genau die
-te Potenz von
auf und wegen