sicher quadratischer Nichtrest nach
, und es fallen folglich die
Zahlen
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(4)
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sämtlich untereinander inkongruent nach
aus. In diesem Falle ist also jede zu
prime Zahl in
einer der Zahlen (4) nach
kongruent. Die Zahlen (4) sind aber bez. die Relativnormen der Zahlen
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und es ist mithin jede zu
prime ganze Zahl in
der Relativnorm einer ganzen Zahl in
kongruent. Hieraus schließt man weiter, wie im ersten Teil dieses Beweises, daß zu jeder nicht durch
teilbaren Zahl
des Körpers
auch für eine beliebig hohe Potenz
des Primideals
stets eine ganze Zahl in
gefunden werden kann, deren Relativnorm der Zahl
nach
kongruent ist. Damit ist Satz 10 in allen Fällen bewiesen.
Satz 11. Wenn
,
zwei beliebige ganze Zahlen in
bedeuten und
ein Primideal des Körpers
ist, das zu
und zu
prim ausfällt, aber in
genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung
.
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Beweis. Ist
, so wird nach Satz 7 das Primideal
des Körpers
in zwei voneinander verschiedene Primideale
und
des Körpers
weiter zerlegbar. Wir bestimmen eine ganze Zahl
in
, welche durch
, aber weder durch
noch durch
teilbar ist; dann geht die Relativnorm
der Zahl
genau durch die erste Potenz von
auf. Es sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
, dann ist
eine ganze zu
prime Zahl und daher zufolge des Satzes 10 Normenrest des Körpers
nach
. Bedeutet
eine beliebige Potenz von
und setzen wir
, ,
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wo
eine ganze Zahl in
bedeutet, und bestimmen dann
als ganze Zahl in
, so daß
nach
ausfällt, so wird offenbar
,
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d. h. es ist
Normenrest des Körpers
nach
.
Umgekehrt, wenn
Normenrest des Körpers
ist und etwa
nach
ausfällt, wo
eine ganze Zahl in
ist, so geht
wegen der über
gemachten Annahme nur durch die erste Potenz von
auf; wir haben daher offenbar
,
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d. h.
zerfällt in
in ein Produkt von zwei Idealen und mithin ist nach Satz 7
. Damit ist der Satz 11 vollständig bewiesen.