erfüllt sind. Nun können wir wegen der Gleichheit der Normen
und
, wie im Beweise zu Satz 7 und zu Satz 9, jede ganze Zahl in
einer ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent setzen; es sei demgemäß
, , ,
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(2)
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wo
,
ganze Zahlen in
sind. Wenn wir dann zur Abkürzung
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setzen, so folgt wegen (2) durch Multiplikation der Kongruenzen (1) die Kongruenz
,
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und da beide Seiten dieser Kongruenz ganze Zahlen in
sind, so gilt sie auch nach dem Modul
. Um zu beweisen, daß die Kongruenz
durch geeignete Wahl der ganzen Zahl
in
auch nach jeder Potenz
des Primideals
lösbar ist, zeigen wir, wie im Beweise zu Satz 9, die Existenz einer Zahl
, welche der Kongruenz
,
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genügt; dann ist offenbar
nach
.
Es sei andererseits
im Körper
nicht weiter zerlegbar und somit nach Satz 7 die Zahl
quadratischer Nichtrest nach
. Nach Satz 2 gibt es in
genau
quadratische Reste nach
; es seien diese durch die Quadratzahlen
,
, …,
vertreten. Wir unterscheiden nun zwei Fälle, je nachdem die Zahl
quadratischer Rest oder Nichtrest nach
ist.
Im ersteren Falle sind wegen unserer Annahme über
die
Zahlen
,
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(3)
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sämtlich nach
untereinander inkongruent. Es ist daher jede zu
prime ganze Zahl in
einer der Zahlen (3) nach
kongruent. Die Zahlen (3) sind bez. die Relativnormen der Zahlen
,
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und es ist mithin jede zu
prime Zahl in
der Relativnorm einer geeigneten ganzen Zahl in
nach
kongruent.
Ist
quadratischer Nichtrest nach
, so wird
quadratischer Rest nach
; es sei
nach
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet. In der Reihe der ganzen rationalen positiven Zahlen
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ist die letzte Zahl Nichtrest nach
; es sei
die erste Zahl dieser Reihe, auf welche ein Nichtrest des Primideals
folgt. Wir setzen
nach
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet: dann ist die ganze Zahl
wegen
,
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