so daß dabei
eine ganze durch
teilbare Zahl in
bedeutet. Die ganze Zahl
, erfüllt dann die Bedingung
, .
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Durch gehörige Fortsetzung dieses Verfahrens erkennen wir, daß für jeden Exponenten
eine ganze Zahl
existiert, so daß
,
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ausfällt. Setzen wir
, so folgt
, ,
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d. h. es hat unter der obigen Annahme das Symbol
den Wert
.
Machen wir umgekehrt die Annahme
, so gibt es nach Definition 6 eine ganze Zahl
in
, für welche
nach
wird. Da nach Satz 4 das Primideal
in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgeht, so ist nach Satz 6 das Primideal
gleich dem Quadrat eines Primideals
im Körper
. Aus der Gleichung
folgt die Gleichheit der Normen
in
und
in
und wie im Beweise des Satzes 7 schließen wir dann auch hier, daß jede ganze Zahl des Körpers
einer ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent sein muß. Setzen wir insbesondere
nach
, wo
eine ganze Zahl in
ist, so folgt
,
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und daher ist auch
nach
, d. h. unter der gegenwärtigen Annahme erhalten wir
; hiermit und durch das vorhin Bewiesene wird der Satz 9 vollständig als richtig erkannt.
Satz 10 Wenn
,
zwei beliebige ganze Zahlen in
bedeuten und
ein weder in
noch in
noch in
aufgehendes Primideal in
ist, so gilt stets die Gleichung
.
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Beweis. Nach Satz 4 geht
nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
auf; wir haben demgemäß nur zwei Annahmen zu behandeln, je nachdem
in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers
zerlegbar ist oder in
unzerlegbar bleibt.
Wir nehmen zunächst
als zerlegbar an, und zwar sei
, wo
ein Primideal des Körpers
bedeutet. Es gibt dann gewiß in
ein System von zwei ganzen Zahlen,
,
, für welche die beiden in
,
linearen Kongruenzen
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(1)
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