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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/398

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so daß dabei eine ganze durch teilbare Zahl in bedeutet. Die ganze Zahl , erfüllt dann die Bedingung

, .

Durch gehörige Fortsetzung dieses Verfahrens erkennen wir, daß für jeden Exponenten eine ganze Zahl existiert, so daß

, 

ausfällt. Setzen wir , so folgt

, ,

d. h. es hat unter der obigen Annahme das Symbol den Wert .

Machen wir umgekehrt die Annahme , so gibt es nach Definition 6 eine ganze Zahl in , für welche nach wird. Da nach Satz 4 das Primideal in der Relativdiskriminante des Körpers aufgeht, so ist nach Satz 6 das Primideal gleich dem Quadrat eines Primideals im Körper . Aus der Gleichung folgt die Gleichheit der Normen in und in und wie im Beweise des Satzes 7 schließen wir dann auch hier, daß jede ganze Zahl des Körpers einer ganzen Zahl des Körpers nach kongruent sein muß. Setzen wir insbesondere nach , wo eine ganze Zahl in ist, so folgt

, 

und daher ist auch nach , d. h. unter der gegenwärtigen Annahme erhalten wir ; hiermit und durch das vorhin Bewiesene wird der Satz 9 vollständig als richtig erkannt.

Satz 10 Wenn , zwei beliebige ganze Zahlen in bedeuten und ein weder in noch in noch in aufgehendes Primideal in ist, so gilt stets die Gleichung

.

Beweis. Nach Satz 4 geht nicht in der Relativdiskriminante des Körpers auf; wir haben demgemäß nur zwei Annahmen zu behandeln, je nachdem in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers zerlegbar ist oder in unzerlegbar bleibt.

Wir nehmen zunächst als zerlegbar an, und zwar sei , wo ein Primideal des Körpers bedeutet. Es gibt dann gewiß in ein System von zwei ganzen Zahlen, , , für welche die beiden in , linearen Kongruenzen

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