§ 7. Normenreste und Normennichtreste des Körpers
und das Symbol
.
Definition 6. Es sei
irgendein Primideal in
, und es seien
,
beliebige ganze Zahlen in
, nur daß
nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in
ausfällt: wenn dann
nach
der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers
kongruent ist und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von
stets eine solche ganze Zahl
im Körper
gefunden werden kann, daß
nach jener Potenz von
ausfällt, so nenne ich
einen Normenrest des Körpers
nach
. In jedem anderen Falle nenne ich
einen Normennichtrest des Körpers
nach
.
Ich definiere das Symbol
, indem ich
oder
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setze, je nachdem
Normenrest oder Normennichtrest nach
ist. Fällt
gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in
aus, so werde stets
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gesetzt.
Das neue Symbol
ist durch diese Festsetzungen in jedem Falle definiert, sobald
,
irgend zwei ganze Zahlen des Körpers
und
irgendein Primideal des Körpers
bedeuten. Das Symbol
ist nur der beiden Werte
oder
fähig.
§ 8. Eigenschaften des Symbols
.
In den folgenden Sätzen entwickeln wir einige Eigenschaften des Symbols
für den Fall, daß
ein nicht in
aufgehendes Primideal bedeutet.
Satz 9. Wenn
,
irgend beliebige ganze Zahlen in
bedeuten und
ein Primideal des Körpers
ist, das zu
und zu
prim ausfällt, aber in
genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung
.
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Beweis. Ist
, so gibt es nach Definition 1 eine ganze Zahl
in
, für welche
nach
wird. Um zu zeigen, daß dann die Kongruenz
auch nach jeder beliebigen Potenz von
durch geeignete Wahl von
lösbar ist, setzen wir
, ,
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