Beweis. Es seien
, …,
die in § 166 bestimmten und dort mit
, …,
bezeichneten
Grundeinheiten des Körpers
; es seien ferner
,
, …,
von
verschiedene Primideale in
von der Beschaffenheit, daß
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(163)
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ausfällt, wo
,
, …,
irgendwelche von
verschiedene
-te Einheitswurzeln bedeuten. Die Existenz solcher Primideale folgt aus Satz 152 (S. 276); wenn wir auf den Beweis dieses Satzes zurückgreifen, sehen wir, daß nicht bloß die Anzahl, sondern die Summe der reziproken Normen aller Primideale
von der dort angegebenen Beschaffenheit unendlich war, und wegen dieses Umstandes dürfen wir, wie aus den Betrachtungen beim Beweise des Satzes 83 (S. 143) ersichtlich ist, gegenwärtig annehmen, daß die Primideale
,
, …,
obenein sämtlich vom ersten Grade sind. Ferner können wir voraussetzen, daß die durch
,
, …,
teilbaren rationalen Primzahlen sämtlich voneinander verschieden ausfallen. Es seien
,
, …,
Primärzahlen bez. von
,
, …,
.
Wir behandeln nun die Annahme, es gäbe
ganze, nicht sämtlich durch
teilbare Exponenten
,
, …,
, für welche der Ausdruck
der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent wird. Nach Satz 148 (S. 251) besitzt dann die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
eine gewisse Anzahl
der Primideale
,
, …,
, aber nicht das Primideal
als Faktor. Andererseits folgt aus (163) unter Berücksichtigung des Satzes 151 (S. 272), daß der Grad
der Schar derjenigen Einheiten in
, welche Relativnormen von Einheiten in
sind, höchstens den Wert
hat; somit würde für den Kummerschen Körper
, d. h.
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ausfallen, was nach Satz 158 (S. 295) nicht sein kann. Damit ist die oben versuchte Annahme als unmöglich erkannt, d. h. für Exponenten
,
, …,
, die nicht sämtlich durch
teilbar sind, ist der Ausdruck
niemals der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent.
Es sei
eine Primärzahl des Primideals
. Aus dem Beweise des Satzes 157 (S. 288) entnehmen wir, daß es genau
nach
und also