,
,
, …,
gerade aus. Wäre nun
,
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so würde nach Satz 156
die
-te Potenz einer Einheit
in
sein. Drücken wir dann
durch die Einheiten
,
,
, …,
aus in der Gestalt
,
|
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wo
,
,
, …,
ganze rationale Exponenten sind, und erheben diese Gleichung in die
-te Potenz, so erhalten wir eine Relation zwischen den
Einheiten
,
, …,
mit Exponenten, die nicht sämtlich Null sind; dies widerspricht der Tatsache, daß
,
, …,
ein System von Grundeinheiten in
bilden. Es ist daher
.
|
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Hieraus folgt mit Rücksicht auf die Ungleichungen (162), daß notwendigerweise
, , , …,
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sein muß, und diese Tatsache läßt unmittelbar auf das Vorhandensein von solchen Einheiten
, …,
schließen, die von der im Satze 155 (S. 286) verlangten Beschaffenheit sind.
Der Satz 157 (S. 288) folgt wie in § 142 aus Satz 155.
§ 167. Beweis einer Eigenschaft für die Primärzahlen von Primidealen der zweiten Art.
Wir legen die in § 131 (S. 264) gegebene Definition des Symbols
für ein Primideal
zugrunde, sehen jedoch vorläufig von einer Definition des Symbols
ab; wir benutzen dementsprechend die Sätze 150 (S. 257), 151 (S. 272) ebenfalls nur für
. Die Sätze 158 (S. 295), 159 (S. 302) folgen dann unmittelbar in der dort dargelegten Weise für den Kummerschen Körper
, sobald wir die einschränkende Annahme machen, daß die Relativdiskriminante von
in bezug auf
zu
prim sei. Unter derselben Einschränkung gelangen wir ohne Gebrauch des Symbols
zu dem Begriff des Charakters eines Ideals in
, zu der Einteilung der Idealklassen eines Kummerschen Körpers in Geschlechter, sowie zu der Gültigkeit der Hilfssätze 33 (S. 308), 34 (S. 310), 35 (S. 312) und beweisen dann zunächst folgenden Hilfssatz:
Hilfssatz 43. Eine jede Primärzahl
eines Primideals
der zweiten Art ist der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent.