35. Neue Begründung der Theorie des regulären Kummerschen Körpers.
§ 166. Die wesentlichen Eigenschaften der Einheiten des regulären Kreiskörpers.
Wir haben gesehen, eine wie wichtige Rolle das besondere Symbol
in der Theorie des Kummerschen Körpers spielt. Was die Definition dieses Symbols in § 131 (S. 266) und die Ableitung seiner Eigenschaften in § 131 bis § 133 betrifft, so knüpften wir in der dortigen Darstellung an die von Kummer eingeführten logarithmischen Differentialquotienten der zu einer Zahl
nach
gehörenden Funktion
an. Die in § 131 bis § 133 für das Symbol
im Kummerschen Körper ausgeführten Rechnungen entsprechen übrigens genau denjenigen Betrachtungen, welche in § 64 für das Symbol
im quadratischen Körper angestellt worden sind. Obwohl es nun bereits gelang, die von Kummer ersonnenen rechnerischen Hilfsmittel auf ein geringes Maß zu bringen, so erscheint es mir doch noch, vor allem auch im Hinblick auf eine künftige Erweiterung der Theorie, notwendig zu untersuchen, ob nicht eine Begründung der Theorie des Kummerschen Körpers ganz ohne jene Rechnungen möglich ist. Ich gebe in diesem Kapitel den Weg hierzu kurz an.
Zunächst können leicht ohne Rechnung und ohne Heranziehung der Bernoullischen Zahlen die späterhin wesentlichen Eigenschaften der Einheiten des regulären Kreiskörpers
abgeleitet werden. Für Satz 156 erinnern wir uns des zweiten auf S. 287 mitgeteilten Beweises.
Wir können dann aus diesem Satz 156 den Satz 155 (S. 286) wie folgt ableiten. Wir wollen unter
irgendein System von
reellen Grundeinheiten des Körpers
verstehen; wir bestimmen dann positive Exponenten
und gewisse ganze rationale, zu
prime Zahlen
, …,
derart, daß die Kongruenzen
|
|
gültig sind. Wir nehmen an, es habe unter den Exponenten
, …,
etwa
den niedrigsten vorkommenden Wert. Dann können wir, wie leicht ersichtlich ist, die
Einheiten
, …,
derart mit Potenzen von
multiplizieren, daß für die
entstehenden Produkte
, …,
die Kongruenzen
|
|
bestehen, wo
, …,
,
,…,
ganze rationale, zu
prime Zahlen bedeuten, und wo nun die Exponenten
, …,
sämtlich größer als
sind. Die Einheiten
,
,
, …,
bilden wiederum ein System von Grundeinheiten in
. Nun möge unter den Exponenten
, …,
etwa
den niedrigsten vorkommenden Wert haben; dann ist es weiter möglich, die Einheiten
, …,
derart mit Potenzen von
zu multiplizieren, daß für die
entstehenden Produkte
, …,
die Kongruenzen
|
|
gelten, wo
, …,
,
, …,
ganze rationale, zu
prime Zahlen bedeuten und nunmehr die Exponenten
, …,
sämtlich größer als
sind. Die Einheiten
,
,
,
, …,
bilden offenbar wiederum ein System von Grundeinheiten in
. Indem wir in geeigneter Weise fortfahren, gelangen wir zu einem System von Grundeinheiten
,
, …,
in
, die den Kongruenzen
|
|
genügen, wo
, …,
,
, …,
ganze rationale, zu
prime Zahlen sind, während für die Exponenten
, …,
die Kette von Ungleichungen
|
(162)
|
gilt. Da die betrachteten Einheiten sämtlich reell sind, so fallen die Exponenten
,
,
, …,
gerade aus. Wäre nun
,
|
|
so würde nach Satz 156
die
-te Potenz einer Einheit
in
sein. Drücken wir dann
durch die Einheiten
,
,
, …,
aus in der Gestalt
,
|
|
wo
,
,
, …,
ganze rationale Exponenten sind, und erheben diese Gleichung in die
-te Potenz, so erhalten wir eine Relation zwischen den
Einheiten
,
, …,
mit Exponenten, die nicht sämtlich Null sind; dies widerspricht der Tatsache, daß
,
, …,
ein System von Grundeinheiten in
bilden. Es ist daher
.
|
|
Hieraus folgt mit Rücksicht auf die Ungleichungen (162), daß notwendigerweise
, , , …,
|
|
sein muß, und diese Tatsache läßt unmittelbar auf das Vorhandensein von solchen Einheiten
, …,
schließen, die von der im Satze 155 (S. 286) verlangten Beschaffenheit sind.
Der Satz 157 (S. 288) folgt wie in § 142 aus Satz 155.
§ 167. Beweis einer Eigenschaft für die Primärzahlen von Primidealen der zweiten Art.
Wir legen die in § 131 (S. 264) gegebene Definition des Symbols
für ein Primideal
zugrunde, sehen jedoch vorläufig von einer Definition des Symbols
ab; wir benutzen dementsprechend die Sätze 150 (S. 257), 151 (S. 272) ebenfalls nur für
. Die Sätze 158 (S. 295), 159 (S. 302) folgen dann unmittelbar in der dort dargelegten Weise für den Kummerschen Körper
, sobald wir die einschränkende Annahme machen, daß die Relativdiskriminante von
in bezug auf
zu
prim sei. Unter derselben Einschränkung gelangen wir ohne Gebrauch des Symbols
zu dem Begriff des Charakters eines Ideals in
, zu der Einteilung der Idealklassen eines Kummerschen Körpers in Geschlechter, sowie zu der Gültigkeit der Hilfssätze 33 (S. 308), 34 (S. 310), 35 (S. 312) und beweisen dann zunächst folgenden Hilfssatz:
Hilfssatz 43. Eine jede Primärzahl
eines Primideals
der zweiten Art ist der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent. Beweis. Es seien
, …,
die in § 166 bestimmten und dort mit
, …,
bezeichneten
Grundeinheiten des Körpers
; es seien ferner
,
, …,
von
verschiedene Primideale in
von der Beschaffenheit, daß
|
(163)
|
ausfällt, wo
,
, …,
irgendwelche von
verschiedene
-te Einheitswurzeln bedeuten. Die Existenz solcher Primideale folgt aus Satz 152 (S. 276); wenn wir auf den Beweis dieses Satzes zurückgreifen, sehen wir, daß nicht bloß die Anzahl, sondern die Summe der reziproken Normen aller Primideale
von der dort angegebenen Beschaffenheit unendlich war, und wegen dieses Umstandes dürfen wir, wie aus den Betrachtungen beim Beweise des Satzes 83 (S. 143) ersichtlich ist, gegenwärtig annehmen, daß die Primideale
,
, …,
obenein sämtlich vom ersten Grade sind. Ferner können wir voraussetzen, daß die durch
,
, …,
teilbaren rationalen Primzahlen sämtlich voneinander verschieden ausfallen. Es seien
,
, …,
Primärzahlen bez. von
,
, …,
.
Wir behandeln nun die Annahme, es gäbe
ganze, nicht sämtlich durch
teilbare Exponenten
,
, …,
, für welche der Ausdruck
der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent wird. Nach Satz 148 (S. 251) besitzt dann die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
eine gewisse Anzahl
der Primideale
,
, …,
, aber nicht das Primideal
als Faktor. Andererseits folgt aus (163) unter Berücksichtigung des Satzes 151 (S. 272), daß der Grad
der Schar derjenigen Einheiten in
, welche Relativnormen von Einheiten in
sind, höchstens den Wert
hat; somit würde für den Kummerschen Körper
, d. h.
|
|
ausfallen, was nach Satz 158 (S. 295) nicht sein kann. Damit ist die oben versuchte Annahme als unmöglich erkannt, d. h. für Exponenten
,
, …,
, die nicht sämtlich durch
teilbar sind, ist der Ausdruck
niemals der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent.
Es sei
eine Primärzahl des Primideals
. Aus dem Beweise des Satzes 157 (S. 288) entnehmen wir, daß es genau
nach
und also
nach
inkongruente primäre Zahlen in
gibt; andererseits ist die
-te Potenz einer zu
primen Zahl in
stets der
-ten Potenz einer der
Zahlen
,
, …,
nach
kongruent. Aus der vorhin gefundenen Tatsache folgt daher, daß es stets möglich sein muß, die Exponenten
,
, …,
derart zu bestimmen, daß der Ausdruck
der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent wird; wir setzen, wenn
,
, …,
solcher Art bestimmt sind,
, so daß
wird, und behandeln nun die Annahme, daß eine gewisse positive Anzahl
von diesen Exponenten
,
, …,
zu
prim, die übrigen
aber durch
teilbar seien. Es wäre dann wegen (163) für den Kummerschen Körper
, indem wir für ihn die Bezeichnungen des § 149 benutzen,
,
,
, und folglich sind nach Hilfssatz 35 (S. 312) in diesem Körper
alle Idealklassen vom Hauptgeschlecht. Hieraus ergibt sich unmittelbar folgende Tatsache: wenn
irgendein Primideal in
mit der Eigenschaft
ist und
eine Primärzahl von
bedeutet, so muß bei geeigneter Wahl der Einheit
das Charakterensystem der Zahl
im Körper
aus lauter Einheiten
bestehen; es ist also insbesondere
,
|
|
und da
ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist auch
.
Wir bezeichnen jetzt die zu
konjugierten und von
verschiedenen Primideale mit
,
, … und diejenigen Substitutionen aus der Gruppe von
, welche
in
,
, … überführen, bez. mit
,
, …. Haben dann
,
die Bedeutung wie in § 149, und ist
die durch
teilbare ganze rationale Primzahl, so ergibt sich (ähnlich wie in § 158) mit Rücksicht auf die Bemerkung hinter dem Satze 157 (S. 288)
,
|
|
wo
eine Einheit in
ist. Wegen unserer Annahme über die Exponenten
,
, …,
, und da die Primideale
,
, …,
vom ersten Grade und ferner die durch sie teilbaren rationalen Primzahlen unter sich verschieden sind, können wir aus dem Satz 152 (S. 276) schließen, daß es in
ein Primideal
gibt mit den Eigenschaften
|
(164)
|
wo
![{\displaystyle \zeta ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b32beeb0d85482c89ae43909c82a59cfa9c73b53)
irgendeine von
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
verschiedene
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
-te Einheitswurzel bedeutet. Diese Gleichungen (164) ergeben sofort
, ,
|
(165)
|
;
|
(166)
|
aus der ersten von den Gleichungen (165) folgt nach dem zuvor Bewiesenen
, und in gleicher Weise liefern die weiteren Gleichungen (165) die Beziehungen
,
, …; durch Multiplikation wird hieraus
, was wegen Satz 140 (S. 231) der Gleichung (166) widerspricht.
Unsere augenblicklich behandelte Annahme über die Exponenten
,
, …,
ist daher unzutreffend, d. h. diese Exponenten, wie sie oben bestimmt wurden, müssen sämtlich durch
teilbar sein, und
ist mithin gleich der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
; hieraus ergibt sich, daß
kongruent der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
ausfällt, womit der Hilfssatz 43 bewiesen ist.
§ 168. Beweis des Reziprozitätsgesetzes für die Fälle, daß eines der beiden Primideale von der zweiten Art ist.
Wir gelangen jetzt schrittweise, wie folgt, zu einzelnen Teilen des Reziprozitätsgesetzes für
-te Potenzreste:
Hilfssatz 44. Es sei
ein Primideal zweiter Art und
ein Primideal erster oder zweiter Art in
: wenn dann
ist, so wird auch
.
Beweis. Es seien
,
Primärzahlen der Primideale
bez.
. Mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) besitzt die Relativdiskriminante des Körpers
nach Satz 148 (S. 251) nur den einen Primfaktor
, und daher gehören wegen des Hilfssatzes 35 (S. 312) in diesem Körper alle Ideale dem Hauptgeschlechte an. Wegen
ist
im Körper
das Produkt von
Primidealen; für den Charakter irgendeines dieser Primideale erhalten wir den Wert
,
|
|
und damit ist der Hilfssatz 44 bewiesen.
Hilfssatz 45. Wenn
,
irgend zwei Primideale zweiter Art in
sind, so ist stets
.
Beweis. Im Falle
folgt die Richtigkeit der Behauptung unmittelbar aus Hilfssatz 44. Wir betrachten nunmehr den Fall
. Es seien
,
Primärzahlen bez. von
,
; ferner seien
,
, … die von
verschiedenen, zu
konjugierten Primideale und
,
, … bez. die betreffenden zu
konjugierten Primärzahlen von
,
, …; andererseits seien
,
, … die von
verschiedenen, zu
konjugierten Primideale und
,
, … bez. die betreffenden zu
konjugierten Primärzahlen von
,
, …. Endlich sei
die durch
teilbare rationale Primzahl; man hat dann
, wo
eine Einheit in
ist. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein Primideal
, für welches
|
(167)
|
|
(168)
|
|
(169)
|
wird, wo
irgendeine von
verschiedene Einheitswurzel bedeutet, und wo
, …,
die
in § 166 bestimmten und dort mit
,
, …,
bezeichneten Einheiten in
sind. Aus (167) folgt
,
|
|
und daher ist, wenn
eine Primärzahl von
bedeutet, nach Satz 140 (S. 231) auch
.
|
(170)
|
Andererseits ist wegen (167) nach Hilfssatz 44
;
|
|
und daher folgt aus (170)
, es ist also
.
|
(171)
|
In gleicher Weise leiten wir aus (168) die Beziehung her:
.
|
(172)
|
Wir bestimmen nun die Potenz
von
so, daß
wird, und betrachten dann den Kummerschen Körper
. Da
nach Voraussetzung und
wegen (169) Primideale zweiter Art sind, so folgt vermittelst des Hilfssatzes 43, daß die Relativdiskriminante dieses Körpers nur die beiden Primideale
,
enthält. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) gibt es daher in
höchstens
Geschlechter. Das Primideal
ist die
-te Potenz eines Primideals
in
. Die beiden Charaktere von
in diesem Körper sind
|
|
und hieraus ergeben sich die Charaktere von
,
, …,
. Wegen (171) bestimmen die
Ideale
,
,…,
verschiedene Geschlechter, und wegen der nämlichen Formel (171) ist zugleich für dieselben stets das Produkt ihrer beiden Charaktere gleich
. Die letztere Tatsache gilt folglich für jedes beliebige Ideal in
. Da
ist, so wird
in
weiter zerlegbar; die Charaktere eines Primfaktors von
sind
, ,
|
|
und es ist daher das Produkt
. Da andererseits
|
|
sein soll, so folgt unter Heranziehung von (172)
.
Hilfssatz 46. Es sei
ein Primideal der ersten Art und
ein Primideal der zweiten Art in
; wenn dann
ausfällt, so wird auch
.
Beweis. Es seien
,
Primärzahlen bez. von
,
. Wir nehmen an, es wäre
. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein von
und
verschiedenes Primideal
, für welches
, ,
|
(173)
|
, , …,
|
(174)
|
ausfällt, wo
, …,
die in § 166 bestimmten und dort mit
, …,
bezeichneten Einheiten sind. Wegen (174) ist
ein Primideal zweiter Art. Bedeutet
eine Primärzahl von
, so fällt
aus; denn aus
würde nach Hilfssatz 44 (S. 340)
folgen, was der ersten Gleichung in (173) widerspräche. Wir können daher eine Potenz
von
bestimmen derart, daß
wird.
Da
,
Primideale zweiter Art sind, so folgt mit Rücksicht auf Hilfssatz 43 (S. 337) nach Satz 148 (S. 251), daß die Relativdiskriminante des Körpers
nur die beiden Primideale
,
als Faktoren enthält. Nun ist nach (173)
und nach Hilfssatz 45 (S. 340)
,
|
|
und daraus folgt, wie im Beweise des Hilfssatzes 45, daß für jedes Ideal in
![{\displaystyle k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5561c47d3869d09666f28bc51c78cbda76f6105b)
das Produkt der beiden Charaktere gleich
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
sein muß. Wegen
![{\displaystyle \left\{{\frac {\varkappa \varrho ^{e}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d012b2835fb2b003ee5d71857d66eda8206af82)
wird
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
in
![{\displaystyle k({\sqrt[{l}]{\varkappa \varrho ^{e}}},\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5561c47d3869d09666f28bc51c78cbda76f6105b)
weiter zerlegbar; ein jeder Primfaktor von
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
besitzt als seine beiden Charaktere
, .
|
|
Da der erste Charakter nach Voraussetzung gleich
ist, so würde nach dem eben Bewiesenen auch
folgen, was nach (173) nicht zutrifft. Dadurch ist unsere Annahme
widerlegt.
Hilfssatz 47. Wenn
ein Primideal zweiter Art und
ein Primideal erster Art ist, so folgt stets
.
Beweis. Wir verfahren genau wie im Beweise des Hilfssatzes 45, indem wir statt des Primideals
nunmehr das Primideal
einsetzen und demgemäß im Verlauf des Beweises behufs Ableitung der (172) entsprechenden Beziehung statt des Hilfssatzes 44 den Hilfssatz 46 heranziehen.
Wir sind nunmehr imstande, den folgenden Hilfssatz abzuleiten:
Hilfssatz 48. Wenn
,
zu
prime ganze Zahlen sind und überdies
der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent wird, so ist stets
,
|
|
wo das Produkt über alle von
verschiedenen Primideale
in
erstreckt werden soll.
Beweis. Unter der über
gemachten Voraussetzung können wir offenbar
gleich einem Produkt aus lauter Primärzahlen von Primidealen, dividiert durch die
-te Potenz einer ganzen Zahl in
, setzen. Ist
insbesondere gleich einer Primärzahl
eines Primideals
zweiter Art, so folgt alsdann die Richtigkeit der Behauptung sofort aus den Hilfssätzen 45 und 47, d. h. es ist unter der über
gemachten Voraussetzung stets
|
(175)
|
Nunmehr betrachten wir den Kummerschen Körper
. Wenn
die Anzahl der Charaktere bezeichnet, die das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper bestimmen, so gibt es nach Hilfssatz 35 (S. 312) höchstens
Geschlechter in diesem Körper. Sind nun
, …,
irgend
solche
-te Einheitswurzeln, deren Produkt gleich
ist, so können wir genau wie beim Beweise des Satzes 164 (S. 329) nachweisen, daß es stets Ideale in
gibt, deren Charaktere mit
, …,
übereinstimmen. Dabei ist nur zu den Bedingungen (155), (156), denen das dort mit
bezeichnete Primideal genügen soll, noch das Bedingungssystem
|
|
hinzuzunehmen, wo
, …,
die in §166 bestimmten und dort mit
, …,
bezeichneten Einheiten sind. Auf diese Weise wird nämlich erreicht, daß
obenein noch ein Primideal zweiter Art wird, und wegen dieses Umstandes dürfen wir mit Rücksicht auf die Hilfssätze 45 und 47 das Reziprozitätsgesetz in der nämlichen Weise anwenden, wie dies beim Beweise des Satzes 164 geschehen ist. Statt des dort benutzten Satzes 163 ziehen wir hier die Formel (175) heran. Zugleich folgt, daß in
wirklich
Geschlechter vorhanden sind, und damit zugleich, daß für jedes derselben das Produkt der
Charaktere stets gleich
sein muß. Diese Tatsache bringen wir nun zur Anwendung, um den Hilfssatz 48 für den Fall zu beweisen, daß
eine Einheit ist, und weiter für den Fall, daß
eine Primärzahl eines Primideals erster Art ist.
Es seien wiederum
, …,
, die soeben erwähnten
Einheiten; ferner
, …,
, wie in § 149, die
in der Relativdiskriminante von
aufgehenden verschiedenen Primideale, und es mögen darunter
,
, …,
wie in § 149 ausgewählt sein; ferner seien
, …,
Primärzahlen bez. von
, …,
; endlich sei
eine beliebige Einheit in
. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein Primideal
, für welches bei einem gewissen zu
primen Exponenten
,
|
(176)
|
,
|
(177)
|
wird. Es sei
eine Primärzahl von
. Wegen der Gleichung
zerfällt
im Körper
, und wegen der übrigen Gleichungen (176) ist
ein Primideal zweiter Art. Die
Charaktere eines Primfaktors von
haben, da, wie man aus (177) und durch die Hilfssätze 45 und 47 erkennt,
|
(178)
|
ist, folgende Werte:
, .
|
|
Nun muß nach dem oben Bewiesenen das Produkt derselben gleich
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
sein; dies liefert mit Rücksicht auf (178) und auf die letzte Gleichung in (176) die Beziehung
,
|
|
wo das Produkt über alle von
verschiedenen Primideale
zu erstrecken ist; daraus folgt dann weiter mit Hilfe von (175)
d. h. ;
|
(179)
|
der Hilfssatz 48 gilt also auch in dem Falle, daß
eine beliebige Einheit in
vorstellt.
Nunmehr sei
irgendein Primideal der ersten Art, welches die Bedingung
erfüllt und folglich in
zerlegbar ist. Die
Charaktere eines beliebigen Primfaktors von
sind, wenn
eine Primärzahl von
und
eine geeignete Einheit in
bedeutet,
, .
|
|
Da das Produkt derselben gleich
sein muß, so folgt wie vorhin:
|
|
und hieraus wegen (179):
.
|
|
Ist endlich
ein solches, zu
primes Primideal erster Art, für welches
ist, so bestimme man ein Primideal zweiter Art
derart, daß
ist; dann ist nach Hilfssatz 44 auch
. Bedeutet
eine Primärzahl von
und
eine solche Potenz von
, daß
wird, so ist nach dem soeben Bewiesenen
,
|
|
und da auf Grund des Hilfssatzes 47 auch
|
|
ausfällt, so folgt weiter
;
|
(180)
|
der Hilfssatz 48 gilt also auch dann, wenn
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
eine Primärzahl eines beliebigen Primideals erster Art ist. Aus (175), (179), (180) folgt die allgemeine Gültigkeit des Hilfssatzes 48.
§ 170.
Das Symbol
und das Reziprozitätsgesetz zwischen zwei beliebigen Primidealen.
Wir gelangen jetzt in überraschend einfacher Weise zu der am Anfang dieses Kapitels in Aussicht gestellten neuen Begründung der Theorie des regulären Kummerschen Körpers. Setzen wir, wenn
und
ganze Zahlen in
bedeuten,
,
|
(181)
|
wo das Produkt
wiederum über alle von
verschiedenen Primideale
in
zu erstrecken ist, so stellt das Symbol
eine
-te Einheitswurzel dar, die durch die Zahlen
völlig bestimmt ist, und es folgen aus (80) (S. 265) sofort die Formeln
|
(182)
|
in denen
,
,
,
,
,
beliebige ganze Zahlen in
bedeuten. Bezeichnet ferner
eine Primitivzahl nach
und
die betreffende Substitution der Gruppe von
, so folgt
.
|
(183)
|
Ferner ergibt sich die Tatsache:
Hilfssatz 49. Wenn
,
zwei primäre Zahlen des Körpers
sind, so hat das Symbol
stets den Wert
.
Beweis. Zunächst folgt, wenn
irgendeine ganze rationale, zu
und zu
prime Zahl ist, mit Rücksicht auf Satz 140 (S. 231) die Gleichung
.
|
(184)
|
Da
eine primäre Zahl sein soll, so ist
einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent. Infolgedessen können wir dann auch nach
eine ganze rationale Zahl
bestimmen, derart, daß die Kongruenz
,
|
|
besteht, und außerdem wieder
prim zu
wählen. Nun ergibt sich bei Anwendung des Hilfssatzes 48
,
|
|
und folglich wird wegen (184) auch
.
|
|
Entsprechend beweisen wir
.
|
|
Aus Formel (183) ergibt sich ferner
.
|
|
Die drei letzten Gleichungen zusammengenommen liefern
, d. h. ,
|
|
und damit ist der Hilfssatz 49 bewiesen.
Wählen wir insbesondere
,
als Primärzahlen von zwei beliebigen Primidealen
,
in
, so ist die Aussage des Hilfssatzes 49 mit dem allgemeinen Reziprozitätsgesetze 161 (S. 312) für diese Primideale
,
gleichbedeutend.
§ 171.
Übereinstimmung des Symbols
mit dem Symbol
.
Wir schließen aus Satz 151 (S. 272), wobei nur der Fall
dieses Satzes zur Anwendung kommt, daß
stets den Wert
besitzt, sobald
die Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers
ist; und endlich gelingt jetzt auch der Nachweis dafür, daß
stets den Wert
hat, sobald die ganze Zahl
Normenrest des Körpers
nach
ist. In der Tat, nehmen wir der Kürze wegen an, daß beide Zahlen
,
zu
prim sind, und setzen wir
nach
, wo
die Relativnorm einer ganzen Zahl
in
bedeuten soll, so ist die Zahl
offenbar der
-ten Potenz einer ganzen Zahl nach
kongruent; daher wird unter Benutzung der Formeln (182) sowie mit Rücksicht auf die vorausgeschickten Bemerkungen und den Hilfssatz 48:
,
|
|
wie behauptet wurde. Wenn eine der Zahlen
,
oder beide durch
teilbar sind, so gelingt der Nachweis dieser Formel ebenfalls ohne Mühe vermöge der nämlichen Hilfsmittel.
Ist
eine ganze, zu
prime Zahl in
, so folgt aus (181) leicht die Gleichung
;
|
|
demnach erfüllt der Ausdruck
sämtliche Forderungen, die für das Symbol
am Schluß des § 133 aufgestellt worden sind; es ist somit, wenn wir die dort auf S. 274 unten angegebene Definition des Symbols
zugrunde legen,
;
|
|
in dieser Gleichung erkennen wir dann den Satz 163 (S. 328) wieder.
Sind insbesondere die beiden Zahlen
,
zu
prim und
,
ganze Zahlen in
, die mit den ersteren durch die Kongruenzen
, ,
|
|
verknüpft sind, so erhalten wir durch Benutzung des Hilfssatzes 48 leicht
|
|
Hieraus und in Ansehung der Formeln (182) entnehmen wir folgende Tatsache: Wenn die beiden Zahlen
,
zu
prim sind und
|
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gesetzt wird, wo
,
und die Exponenten
, , …, ; , , …,
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ganze rationale Zahlen sind, so besteht eine Gleichung von der Gestalt
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dabei ist
eine homogene bilineare Funktion der beiden Reihen von Veränderlichen
, und die Koeffizienten von
sind ganze rationale Zahlen, die nur von der Primzahl
abhängen, und die man bei gegebenem Werte der Primzahl
etwa durch besondere Annahmen der Zahlen
,
leicht berechnen kann.
Nachdem nun das Symbol
definiert und seine wichtigsten Eigenschaften abgeleitet worden sind, dürfen wir die in diesem Kapitel bisher festgehaltene Einschränkung auf Kummersche Körper mit einer zu
primen Relativdiskriminante fallen lassen; es gelangen dann, genau wie oben, die Sätze 164 (S. 329), 165 (S. 331), 166 (S. 332) und vor allem der Fundamentalsatz 167 (S. 332) zum Nachweise. Mit Hilfe dieses Satzes 167 und geeigneter Benutzung des Satzes 152 (S. 276) läßt sich dann auch zeigen, daß, wenn
zwei beliebige ganze Zahlen in
mit der Eigenschaft
sind und
nicht gleich der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
ausfällt, die Zahl
stets Normenrest des Kummerschen Körpers
nach
sein muß. Damit ist dann der Satz 151 (S. 272) für den Fall
nachträglich als richtig erkannt, und es folgt hieraus auch die Gültigkeit des Satzes 150 (S. 257) für
. Bei der hier dargelegten Begründungsart der Theorie des Kummerschen Körpers erscheinen also die Sätze 150 und 151 für
im Gegensatz zu dem früheren Aufbau als die Schlußsteine des ganzen Gebäudes.