nach
inkongruente primäre Zahlen in
gibt; andererseits ist die
-te Potenz einer zu
primen Zahl in
stets der
-ten Potenz einer der
Zahlen
,
, …,
nach
kongruent. Aus der vorhin gefundenen Tatsache folgt daher, daß es stets möglich sein muß, die Exponenten
,
, …,
derart zu bestimmen, daß der Ausdruck
der
-ten Potenz einer ganzen Zahl in
nach
kongruent wird; wir setzen, wenn
,
, …,
solcher Art bestimmt sind,
, so daß
wird, und behandeln nun die Annahme, daß eine gewisse positive Anzahl
von diesen Exponenten
,
, …,
zu
prim, die übrigen
aber durch
teilbar seien. Es wäre dann wegen (163) für den Kummerschen Körper
, indem wir für ihn die Bezeichnungen des § 149 benutzen,
,
,
, und folglich sind nach Hilfssatz 35 (S. 312) in diesem Körper
alle Idealklassen vom Hauptgeschlecht. Hieraus ergibt sich unmittelbar folgende Tatsache: wenn
irgendein Primideal in
mit der Eigenschaft
ist und
eine Primärzahl von
bedeutet, so muß bei geeigneter Wahl der Einheit
das Charakterensystem der Zahl
im Körper
aus lauter Einheiten
bestehen; es ist also insbesondere
,
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und da
ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist auch
.
Wir bezeichnen jetzt die zu
konjugierten und von
verschiedenen Primideale mit
,
, … und diejenigen Substitutionen aus der Gruppe von
, welche
in
,
, … überführen, bez. mit
,
, …. Haben dann
,
die Bedeutung wie in § 149, und ist
die durch
teilbare ganze rationale Primzahl, so ergibt sich (ähnlich wie in § 158) mit Rücksicht auf die Bemerkung hinter dem Satze 157 (S. 288)
,
|
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wo
eine Einheit in
ist. Wegen unserer Annahme über die Exponenten
,
, …,
, und da die Primideale
,
, …,
vom ersten Grade und ferner die durch sie teilbaren rationalen Primzahlen unter sich verschieden sind, können wir aus dem Satz 152 (S. 276) schließen, daß es in
ein Primideal
gibt mit den Eigenschaften
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(164)
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