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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/356

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nach inkongruente primäre Zahlen in gibt; andererseits ist die -te Potenz einer zu primen Zahl in stets der -ten Potenz einer der Zahlen , , …, nach kongruent. Aus der vorhin gefundenen Tatsache folgt daher, daß es stets möglich sein muß, die Exponenten , , …, derart zu bestimmen, daß der Ausdruck der -ten Potenz einer ganzen Zahl in nach kongruent wird; wir setzen, wenn , , …, solcher Art bestimmt sind, , so daß wird, und behandeln nun die Annahme, daß eine gewisse positive Anzahl von diesen Exponenten , , …, zu prim, die übrigen aber durch teilbar seien. Es wäre dann wegen (163) für den Kummerschen Körper , indem wir für ihn die Bezeichnungen des § 149 benutzen, , , , und folglich sind nach Hilfssatz 35 (S. 312) in diesem Körper alle Idealklassen vom Hauptgeschlecht. Hieraus ergibt sich unmittelbar folgende Tatsache: wenn irgendein Primideal in mit der Eigenschaft ist und eine Primärzahl von bedeutet, so muß bei geeigneter Wahl der Einheit das Charakterensystem der Zahl im Körper aus lauter Einheiten bestehen; es ist also insbesondere

,

und da ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist auch .

Wir bezeichnen jetzt die zu konjugierten und von verschiedenen Primideale mit , , … und diejenigen Substitutionen aus der Gruppe von , welche in , , … überführen, bez. mit , , …. Haben dann , die Bedeutung wie in § 149, und ist die durch teilbare ganze rationale Primzahl, so ergibt sich (ähnlich wie in § 158) mit Rücksicht auf die Bemerkung hinter dem Satze 157 (S. 288)

,

wo eine Einheit in ist. Wegen unserer Annahme über die Exponenten , , …, , und da die Primideale , , …, vom ersten Grade und ferner die durch sie teilbaren rationalen Primzahlen unter sich verschieden sind, können wir aus dem Satz 152 (S. 276) schließen, daß es in ein Primideal gibt mit den Eigenschaften

(164)