Beweis. Es mögen
,
,
, … für
die Bedeutung wie im vorigen Hilfssatz 41 haben; wir nehmen in Satz 152 (S. 276)
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die Zahlen
,
,
,
,
, . . . genügen wiederum, wie man leicht einsieht, der Voraussetzung des Satzes 152; es führt die entsprechende Schlußweise wie in Hilfssatz 41 zu einem Primideal
von der hier verlangten Beschaffenheit.
§ 159. Beweis des ersten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.
Um den ersten Ergänzungssatz für ein Primideal
der ersten Art zu beweisen, wenden wir den Hilfssatz 41 an; diesem zufolge läßt sich ein Primideal
bestimmen, für welches
und
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wird, und das also gewiß ein Primideal erster Art ist. Nach Gleichung (145) haben wir für das Primideal
die Gleichung
,
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wo
eine Primärzahl von
bedeuten soll. Da
ausfällt, so besteht nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit
in
die Gleichung
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und demnach treffen die sämtlichen Bedingungen des Hilfssatzes 40 (S. 319) zu, wenn wir an Stelle der dort mit
bez.
bezeichneten Primideale die beiden Primideale
bez.
nehmen. Nach jenem Hilfssatze gibt es somit eine Einheit
in
derart, daß
wird, wobei
eine Primärzahl von
bedeuten soll. Infolge dieser Tatsache ist nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit
in
die Gleichung
erfüllt, wie es der erste Ergänzungssatz behauptet.
Des weiteren bedeute
ein Primideal zweiter Art in
. Dann ist nach der Definition eines solchen Primideals für jede Einheit
in
stets
, und wenn
eine Primärzahl von
bezeichnet, so ist nach Hilfssatz 37 (S. 314) stets auch
. Es gilt daher in der Tat wiederum der erste Ergänzungssatz
.