§ 160. Beweis des Reziprozitätsgesetzes zwischen zwei beliebigen Primidealen.
Nachdem der erste Ergänzungssatz in § 159 bewiesen worden ist, folgt aus Hilfssatz 39 (S. 317) sofort die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale erster Art.
Es sei zweitens ein Primideal
erster Art und ein Primideal
zweiter Art vorgelegt;
und
seien Primärzahlen von
und
. Im Falle, daß
ausfällt, folgt aus Satz 162 (S. 319)
und mithin die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für
und
. Wir nehmen jetzt an, es sei
. Da
von der ersten Art ist, so gibt es eine Einheit
, so daß
ausfällt, und es kann hierbei stets, wie aus einer Betrachtung am Schlusse des Beweises von Hilfssatz 39 (S. 317) hervorgeht, die Einheit
zugleich so bestimmt werden, daß eine gewisse Potenz von
mit einem zu
primen Exponenten
nach
wird. Wir betrachten den Kummerschen Körper
. Nach Satz 148 (S. 251) enthält die Relativdiskriminante dieses Körpers in bezug auf
die zwei Primfaktoren
und
. Da
ein Primideal zweiter Art ist, so gelten wegen der Hilfssätze 36 und 37 für jede Einheit
in
die Gleichungen
, ,
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und demgemäß ist die Anzahl
der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in
bestimmen, gleich
. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in
die Anzahl der Geschlechter
. Wir bestimmen nun nach Hilfssatz 42 (S. 322) ein Primideal
in
von der Beschaffenheit, daß
,
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wird. Wegen der ersteren Gleichung ist
in
weiter zerlegbar. Es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper und
eine Primärzahl von
. Dann besteht das Charakterensystem des Ideals
in
aus den beiden Charakteren
, .
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(147)
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Da der zweite Charakter
ist, so bestimmen die Ideale
,
, …,
lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie die oben gefundene obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter zeigt, außer diesen keine weiteren Geschlechter. Mit Benutzung des in § 159 bewiesenen ersten