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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/339

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Beweis. Es sei die Klassenanzahl von und, wie in § 149 und § 154, eine positive ganze rationale Zahl, so daß nach wird. Es sei die rationale, durch teilbare Primzahl und eine Primärzahl von ; ferner seien , , … die untereinander und von verschiedenen, zu konjugierten Primideale in und , die betreffenden zu konjugierten Zahlen in ; sie sind Primärzahlen bez. von , , …. Wir haben dann ; da ferner eine Einheit in sein muß und überdies primär ausfällt, so stellt nach Satz 156 (s. auch S. 287) dieser Quotient die -te Potenz einer Einheit in dar, es ist also

.

Nunmehr wenden wir den Satz 152 (S. 276) an, indem wir dort

nehmen. Da nicht die -te Potenz einer Einheit in ist und , , , … Potenzen von Primidealen sind, deren Exponenten zu prim ausfallen, so sind die Voraussetzungen des Satzes 152 erfüllt, und es gibt daher nach diesem Satze in ein Primideal , für welches bei irgendeinem geeigneten, zu primen Exponenten

d. h.

(146)

wird, wo eine von verschiedene -te Einheitswurzel darstellt. Aus (146) erhalten wir , und folglich wird wegen Satz 140 (S. 231) auch , wo eine Primärzahl von bedeuten soll. Da nun wegen (146) nach Satz 162 (S. 319) , , … sein muß und

ist, so erhalten wir ; damit ist gezeigt, daß das Primideal alle Bedingungen des Hilfssatzes 41 erfüllt.

Hilfssatz 42. Wenn ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers und eine Primärzahl von bedeutet, wenn ferner eine beliebige Einheit in , nur nicht die -te Potenz einer Einheit in ist, so gibt es ein Primideal in , das den Bedingungen

, 

genügt.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 322. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/339&oldid=- (Version vom 17.1.2020)