33. Das Reziprozitätsgesetz für
-te Potenzreste im regulären Kreiskörper.
§ 154.
Das Reziprozitätsgesetz für
-te Potenzreste und die Ergänzungssätze.
Die bisher dargelegte Theorie des Kummerschen Körpers liefert uns die Hilfsmittel zum Beweise gewisser fundamentaler Gesetze über
-te Potenzreste im regulären Kreiskörper, welche den Reziprozitätsgesetzen für quadratische Reste im Gebiete der rationalen Zahlen entsprechen, und welche das in § 115 entwickelte Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz (Satz 140) zwischen einer beliebigen Zahl in
und einer rationalen Zahl als besonderen Fall enthalten. Um diese Gesetze für
-te Potenzreste in ihrer einfachsten Gestalt aussprechen zu können, verallgemeinern wir das in § 113 und § 127 definierte Symbol
in folgender Weise:
Es sei
die Anzahl der Idealklassen in
dann bestimmen wir eine ganze rationale positive Zahl
so, daß
nach
wird. Bedeutet dann
ein beliebiges, von
verschiedenes Primideal in
so ist stets \mathfrak
ein Hauptideal in
wir setzen
so daß
eine ganze Zahl in
ist, und nehmen hierin, was dem Satze 157 zufolge geschehen kann, die Zahl
primär an. Eine solche ganze Zahl
heiße eine Primärzahl von
Es hat dann, da jede primäre Einheit in
zufolge einer Bemerkung auf S. 288 die
-te Potenz einer Einheit in
ist,
in bezug auf jedes von
verschiedene Primideal einen völlig bestimmten Potenzcharakter. Bedeutet nun
ein beliebiges, von
und von
verschiedenes Primideal in
so wird das Symbol
durch die Formel
|
|
definiert. Das Symbol
ist somit eine durch die zwei Primideale
und
eindeutig bestimmte
-te Einheitswurzel. Mit Benutzung dieses Symbols sprechen wir folgende Tatsache aus:
Satz 161. Sind
und
voneinander und von dem Primideal
verschiedene Primideale des regulären Kreiskörpers
so gilt die Regel
|
|
das sogenannte Reziprozitätsgesetz für
-te Potenzreste. Außerdem gelten, wenn
eine beliebige Einheit in
und
eine Primärzahl von dem Primideal
bedeutet, die Regeln
, ,
|
|
die beiden sogenannten Ergänzungssätze zum Reziprozitätsgesetz für
-te Potenzreste [Kummer (10[1], 12[2], 18[3], 19[4], 20[5], 21[6])].
Wir führen den Nachweis dieses Fundamentalsatzes in den folgenden Paragraphen § 155 bis § 161 des gegenwärtigen Kapitels durch schrittweises Vorgehen, indem wir für besondere reguläre Kummersche Körper die im vorigen Kapitel gefundenen Sätze und Hilfssätze zur Anwendung bringen.
§ 155. Die Primideale erster und zweiter Art im regulären Kreiskörper.
Es ist für die folgenden Entwicklungen von Nutzen, zwei Arten von Primidealen in
zu unterscheiden: ein solches von
verschiedenes Primideal
in
, nach welchem nicht jede vorhandene Einheit in
-ter Potenzrest ist, möge ein Primideal erster Art heißen; dagegen möge jedes von
verschiedene Primideal
in
, nach welchem alle Einheiten in
-te Potenzreste sind, ein Primideal zweiter Art heißen [Kummer (20)]. Wir beweisen zunächst folgende Hilfssätze:
Hilfssatz 36. Wenn
und
beliebige Einheiten des regulären Kreiskörpers
sind und
,
gesetzt wird, so gelten stets die Gleichungen
.
|
|
Beweis. Wenn
die
-te Potenz einer Einheit in
ist, so leuchtet die Richtigkeit der aufgestellten Gleichungen von selbst ein. Andernfalls definiert
einen Kummerschen Körper
, und zwar einen solchen, für welchen die Betrachtungen am Schluß des § 147 zutreffen. Es sind daher alle Einheiten in
und zudem auch die Zahl
Relativnormen von Zahlen in
, und hieraus ergibt sich wegen Satz 151 die Richtigkeit der Gleichungen des Hilfssatzes 36.
Will man hier den Satz 151 für
nur in dem auf S. 273 bis S. 274 ausführlich behandelten Fall anwenden, wo die betreffende Zahl
nach
ist, so mache man die letzten Schlüsse zunächst, indem man
für die Einheit
nimmt; dann folgt
und
. Weiter bestimme man, wenn
eine beliebige Einheit in
bedeutet, eine solche
-te Einheitswurzel
, daß
nach
ausfällt. Nimmt man dann im oben dargelegten Beweise
an Stelle der Einheit
, so folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266)
und in gleicher Weise
.
Hilfssatz 37. Wenn
ein Primideal erster Art und
eine Primärzahl von
ist, so gibt es in
stets wenigstens eine Einheit
, für welche
|
|
ausfällt; ist dagegen ein Primideal
zweiter Art vorgelegt und bedeutet
eine Primärzahl von
, so gilt für jede Einheit
in
die Gleichung
.
|
|
Beweis. Um die erste Aussage dieses Hilfssatzes zu beweisen, nehmen wir an, es gelte im Gegenteil für jede Einheit
in
die Gleichung
.
|
|
Wir setzen
nach
, wobei
und
ganze rationale Zahlen sein sollen und
den größten Exponent
bedeutet, für den jener Ansatz möglich ist. Da
eine primäre Zahl ist, so muß notwendig
und
einer ganzen rationalen Zahl nach
kongruent sein; hierbei bedeutet
die Substitution
aus der Gruppe des Kreiskörpers
. Da
nach
ist, so wird
|
|
und hieraus folgt, daß im Falle
der Exponent
notwendig ungerade sein muß.
Wir haben nun beim Beweise des Hilfssatzes 29 gefunden, daß die
dort mit
bezeichneten Einheiten des Kreiskörpers
die Bedingungen
|
|
erfüllen. Setzen wir in der ersten Gleichung dieses Beweises der Reihe nach für
die Werte
ein, so entspringen zufolge der Definition (82) des Symbols
auf S. 266 und ihrer auf S. 266 gegebenen Ausdehnung die Kongruenzen
|
|
und diese lassen erkennen, daß in der Kongruenz
nach
der Exponent
keinen der Werte
,
,
,
,
haben darf. Stellen wir damit die oben gefundenen Bedingungen für
zusammen, so folgt, daß
sein muß. Da nun
nach
wird, so ergibt sich
nach
, und folglich genügt die Norm von
der Kongruenz
|
|
Andererseits entnehmen wir aus der Definition des Symbols auf S. 266 unter Berücksichtigung des Hilfssatzes 24
|
|
und da das Symbol linker Hand den Wert
haben soll, so folgt
nach
, d. h.
nach
oder
nach
. Nach Satz 148 besitzt infolge der letzteren Kongruenz der durch
bestimmte Kummersche Körper
eine zu
prime Relativdiskriminante, und es ist mithin
das einzige in der Relativdiskriminante von
} aufgehende Primideal. Setzen wir
, so ist
das einzige ambige Primideal dieses Körpers. Aus
folgt, daß
einem Ideal des Körpers
äquivalent ist. Die aus allen ambigen Idealen entspringende Klassenschar hat also für den Kummerschen Körper
den Grad
. Da die Anzahl
der ambigen Ideale für diesen Körper
ist, so folgt nach Satz 158, wenn
die dort festgesetzte Bedeutung für diesen Körper hat,
, d. h.
. Es ist folglich jede Einheit
in
die Relativnorm einer Einheit in
, und mithin wird nach Satz 151 stets
und also, da
ist, auch
, entgegen unserer Annahme, wonach das Primideal
von der ersten Art sein sollte.
Um die zweite Aussage des Hilfssatzes 37 zu beweisen, betrachten wir ähnlich wie im Beweise des Hilfssatzes 36 den Kummerschen Körper
, wo
eine beliebige Einheit in
, nur nicht die
-te Potenz einer Einheit in
, sein soll. Wie am Schlusse des § 147 bewiesen wurde, ist jede Einheit in
die Relativnorm einer Einheit in
und daher haben die beiden in Satz 158 und in Satz 159 bezeichneten Einheitenscharen für diesen Körper den gemeinsamen Grad
.
|
|
Da ferner für ihn
ist, so folgt aus Hilfssatz 34
; mithin ist
, d. h. alle Idealklassen des Körpers
gehören zum Hauptgeschlecht. Da
ein Primideal zweiter Art sein soll, so ist
, und mithin zerfällt nach Satz 149
in
voneinander verschiedene Primideale des Körpers
; es sei
einer dieser Primfaktoren von
. Das Charakterensystem einer Zahl
des Körpers
in
besteht aus dem einen Charakter
; derselbe fällt nach Hilfssatz 36 stets gleich
aus, wenn man für
eine Einheit in
nimmt. Der Charakter des Primideals
in
hat daher den Wert
, und dieser muß wegen der vorhin bewiesenen Tatsache gleich
sein. Damit ist der Hilfssatz 37 vollständig bewiesen.
Will man wiederum Satz 151 für
nur in dem Falle eines Körpers
, für den
nach
ist, als bewiesen annehmen, so gilt auch die Einteilung der Geschlechter und insbesondere der Hilfssatz 34 nur für diesen Fall. Wir müssen dann zum Beweise der zweiten Aussage des Hilfssatzes 37 erst
und dann
wählen, wobei
eine beliebige Einheit in
und
dazu eine solche
-te Einheitswurzel bedeute, daß
nach
wird. Durch Verbindung der beiden sich dabei ergebenden Resultate erkennen wir dann die vollständige Richtigkeit der zweiten Aussage des Hilfssatzes 37.
§ 156. Hilfssätze über Primideale erster Art im regulären Kreiskörper.
Wir beweisen der Reihe nach folgende Hilfssätze über Primideale erster Art im Körper
:
Hilfssatz 38. Es sei
ein Primideal erster Art im regulären Kreiskörper
und
eine Primärzahl von
. Wenn es dann eine Einheit
in
gibt, so daß
|
|
statthat, so gilt für jede beliebige Einheit
in
die Gleichung:
|
|
Beweis. Der durch
bestimmte Kummersche Körper
besitzt, weil
ein Primideal erster Art ist, nach dem Beweise des Hilfssatzes 37 zwei ambige Primideale
und
, nämlich diejenigen, deren
-te Potenzen
bez.
sind. Da das ambige Primideal
offenbar Hauptideal in
ist, so beträgt für diesen Körper der Grad der aus den ambigen Idealen entspringenden Klassenschar
oder
, je nachdem
Hauptideal ist oder nicht. Wegen des Satzes 158 besitzt daher, wenn
die dort erklärte Bedeutung für den Körper
hat, die Zahl
den Wert
der
, d. h. es ist
oder
. Da die Einheit
infolge der Voraussetzung
mit Rücksicht auf Satz 151 sicher nicht die Relativnorm einer Einheit des Körpers
ist, so haben wir notwendigerweise
, und es ist sodann jede Einheit
in
in der Gestalt
darstellbar, wo
ein ganzer rationaler Exponent und
eine solche Einheit bedeutet, die sich als Relativnorm einer Einheit in
erweist. Aus dem letzteren Grunde ist wegen Satz 151
|
|
und also auch
; hieraus folgt unter Benutzung der zweiten Formel in (83) (S. 266) auch
, und damit ist der Beweis für den Hilfssatz 38 erbracht.
Soll Satz 151 für
nur in dem Falle eines Körpers
, für den
nach
ist, angewandt werden, so bestimme man eine
-te Einheitswurzel
derart, daß
nach
wird, und dann betrachte man, indem man im übrigen wie in dem oben dargelegten Beweise verfährt, an Stelle des Körpers
den Körper
. Wenn man schließlich noch den Hilfssatz 36 zuzieht, folgt dann der Hilfssatz 38 vollständig.
Hilfssatz 39. Wenn
,
zwei Primideale erster Art in
und
,
Primärzahlen bez. von
,
sind, wenn ferner für jede beliebige Einheit
in
|
|
wird, so ist
.
|
|
Beweis. Da
ein Primideal erster Art ist, so können wir eine Einheit
in
derart bestimmen, daß
wird. Wir betrachten nun den Kummerschen Körper
. Da die Relativdiskriminante dieses Körpers nur die beiden Primfaktoren
und
enthält, so besteht das Charakterensystem einer Zahl
in
für diesen Körper aus den zwei Charakteren
und
. Wegen
ist
in
weiter zerlegbar; es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper. Um das Charakterensystem von
zu bilden, bedenken wir, daß
ein Primideal erster Art ist; es läßt sich dann eine Einheit
in
bestimmen, für welche
wird und es besteht das Charakterensystem von
aus dem einen Charakter
. Wir entnehmen mithin aus dem Hilfssatz 35
für den Körper
, d. h. in diesem Körper gehört jede Idealklasse dem Hauptgeschlecht an, und der zuletzt genannte Charakter besitzt daher den Wert
. Wir haben nun
, d. h. wegen der Formel auf S. 228
;
|
(142)
|
ferner
, d. h.
,
|
(143)
|
und endlich
oder mit Benutzung von (83), (S. 266)
.
|
|
Da nach Hilfssatz 36
und nach Hilfssatz 30
ist, so geht letztere Formel in
|
(144)
|
über. Da wegen der von uns gemachten Voraussetzung
und
|
|
ist, so folgt aus (144)
, und diese Gleichung liefert mit Benutzung der Formeln (142), (143) die im Hilfssatz 39 behauptete Gleichung.
Will man wiederum den Satz 151 für
nur in dem Falle eines Körpers
anwenden, für den
nach
ausfällt, so wähle man im obigen Beweise die Einheit
derart, daß man außer
noch bei einem geeigneten, zu
primen Exponenten
nach
hat. Eine Bestimmung der Einheit
in dieser Weise ist, wie man leicht sieht, sicher stets dann möglich, wenn
ist. Ist aber
und zugleich
, so kann jene Bedingung ebenfalls erfüllt werden, indem man für
eine geeignete Potenz von
nimmt. Ob die fragliche Bedingung sich erfüllen läßt, bleibt also nur dann zweifelhaft, wenn gleichzeitig
und
ausfällt. In diesem Falle vertauschen wir bei dem obigen Beweise die Rollen von
einerseits und
andererseits; dann bleibt offenbar nur noch der Fall unerledigt, daß zugleich
,
und
,
ausfällt. In diesem Falle erkennt man aber aus den letzten zwei Beziehungen die Behauptung des Hilfssatzes 39 ohne weiteres als richtig.
Hilfssatz 40. Wenn
ein Primideal erster Art in
ist und
eine Primärzahl von
bedeutet, und wenn für jede beliebige Einheit
in
die Gleichung
|
|
besteht, wenn ferner
ein solches von
verschiedenes Primideal erster Art ist, daß
|
|
ausfällt, so gibt es stets eine Einheit
in
von der Art, daß
|
|
wird, wobei
eine Primärzahl von
bezeichnet.
Beweis. Wir verfahren zuvörderst genau wie beim Beweise des vorigen Hilfssatzes und gelangen so unter Einführung gewisser Einheiten
und
wieder zu den drei Formeln (142), (143), (144). Nun ist wegen der Voraussetzung des Hilfssatzes 40
; hieraus und wegen
folgt in Verbindung mit den drei genannten Formeln die Richtigkeit des Hilfssatzes 40.
Soll Satz 151 nur für den Fall
nach
zur Anwendung gelangen, so hat man im vorstehenden Beweise nur nötig, die Einheit
so zu bestimmen, daß außer der Gleichung
noch die Kongruenz
nach
bei einem zu
primen Exponenten
erfüllt wird; es ist eine solche Bestimmung von
hier stets möglich.
§ 157. Ein besonderer Fall des Reziprozitätsgesetzes für zwei Primideale.
Satz 162. Wenn
und
irgend zwei beliebige Primideale eines regulären Kreiskörpers sind, für welche
gilt, so ist stets auch
.
Beweis. Es seien
Primärzahlen bez. von
. Wir betrachten den Kummerschen Körper
und unterscheiden zwei Fälle, je nachdem
ein Primideal erster oder zweiter Art ist.
Im ersten Falle enthält die Relativdiskriminante von
die zwei Primideale
und
, und es gibt nach Hilfssatz 37 eine Einheit
in
, für welche der Charakter
ausfällt. Das Charakterensystem eines Ideals in
besteht daher nur aus einem Charakter, d. h. es ist
und nach Hilfssatz 35 auch
. Wegen
ist
in
weiter zerlegbar; es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper. Da
primär sind, so fällt nach Hilfssatz 30 (S. 289)
aus, und da
zum Hauptgeschlecht gehört, so ist auch
, wie es der Satz 162 behauptet.
Wenn
ein Primideal zweiter Art ist, so gilt nach Hilfssatz 37 für jede Einheit
in
die Gleichung
, und folglich enthält, wie im Beweise des Hilfssatzes 37 gezeigt worden ist, die Relativdiskriminante von
nur das eine Primideal
. Es ist daher wiederum
und
. Wegen
ist
in
weiter zerlegbar. Es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper. Da
zum Hauptgeschlecht gehört, und mit Rücksicht auf
ist
, und damit ist der Satz 162 vollständig bewiesen.
Soll wiederum Satz 151 und dementsprechend auch Hilfssatz 35 für
nur in dem Fall eines Körpers
, für den
nach
ist, angewandt werden, so ist zum Beweise des Satzes 162 im ersten der beiden vorhin unterschiedenen Fälle der folgende Zusatz erforderlich.
Wenn
ein beliebiges Primideal und
eine Primärzahl von
ist, so erkennen wir aus der Definition des Symbols
auf S. 266 und mit Rücksicht auf Hilfssatz 24 (S. 267) die Richtigkeit der Gleichung
.
|
(145)
|
Ist nun das Primideal
von der Beschaffenheit, daß
ausfällt, so bestimmen wir eine
-te Einheitswurzel
derart, daß
nach
ausfällt, und fassen statt des Kummerschen Körpers
den Körper
ins Auge. Wir wenden dann die oben dargelegte Schlußweise an. Da
|
|
wird und, wie oben,
ist, andererseits mit Rücksicht auf die in (145) angegebene Tatsache
ausfällt, so folgt
, und deshalb schließen wir
, d. h.
.
Es sei andererseits
. Da
ein Primideal erster Art ist, so gibt es sicher eine Einheit
, für welche
ist, und ferner nach Hilfssatz 37 (S. 314) sicher eine Einheit
, für welche
ausfällt. Auch können wir diese Einheiten
überdies beide so wählen, daß sie
nach
sind. Wir entnehmen hieraus weiter die Existenz einer Einheit
, für welche
sowie
ausfällt und überdies die Kongruenzeigenschaft
nach
erfüllt ist. In der Tat, wenn diese Bedingungen weder für
noch für
zutreffen, so ist gleichzeitig
und
, und dann würde
eine Einheit von der verlangten Beschaffenheit sein. Wir bestimmen nun eine solche Potenz
der Einheit
, daß
wird. Wäre nun
, so fiele der Exponent
gewiß zu
prim aus, und folglich wäre
. Es ist außerdem, da
eine primäre Zahl darstellt, ersichtlich, daß eine gewisse Potenz von
mit einem zu
primen Exponenten der Zahl
nach
kongruent wird. Aus (145) und Hilfssatz 36 (S. 313) folgt noch
. Der Kummersche Körper
besitzt deshalb nur ein Geschlecht. Wegen
ist
in diesem Körper weiter zerlegbar; ist
ein in
aufgehender Primfaktor dieses Körpers, so findet man den Charakter von
gleich dem Symbol
,
|
|
wenn
eine solche
-te Einheitswurzel bedeutet, daß
ausfällt. Wegen der letzten Gleichung, und da
ist, folgt
, und wegen
ist also auch
, d. i. mit Rücksicht auf (145)
; somit ist
. Da aber jener eine Charakter des Primideals
gleich
sein muß, so folgt wegen
notwendig auch
, und dies stünde im Widerspruch mit der eben gezogenen Folgerung.
§ 158. Das Vorhandensein gewisser Hilfsprimideale, für welche das Reziprozitätsgesetz gilt.
Auf Grund der Sätze 152, 140 und 162 erkennen wir leicht die Existenz gewisser Primideale, die in § 159 und § 160 zur Verwendung kommen werden. Es gelten folgende Tatsachen:
Hilfssatz 41. Wenn
ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers
bedeutet, so gibt es stets ein Primideal
in
, welches den Bedingungen
,
|
|
genügt.
Beweis. Es sei
die Klassenanzahl von
und, wie in § 149 und § 154,
eine positive ganze rationale Zahl, so daß
nach
wird. Es sei
die rationale, durch
teilbare Primzahl und
eine Primärzahl von
; ferner seien
,
, … die untereinander und von
verschiedenen, zu
konjugierten Primideale in
und
,
die betreffenden zu
konjugierten Zahlen in
; sie sind Primärzahlen bez. von
,
, …. Wir haben dann
; da ferner
eine Einheit in
sein muß und überdies primär ausfällt, so stellt nach Satz 156 (s. auch S. 287) dieser Quotient die
-te Potenz einer Einheit
in
dar, es ist also
.
|
|
Nunmehr wenden wir den Satz 152 (S. 276) an, indem wir dort
|
|
nehmen. Da
nicht die
-te Potenz einer Einheit in
ist und
,
,
, … Potenzen von Primidealen sind, deren Exponenten zu
prim ausfallen, so sind die Voraussetzungen des Satzes 152 erfüllt, und es gibt daher nach diesem Satze in
ein Primideal
, für welches bei irgendeinem geeigneten, zu
primen Exponenten
|
|
d. h.
|
(146)
|
wird, wo
eine von
verschiedene
-te Einheitswurzel darstellt. Aus (146) erhalten wir
, und folglich wird wegen Satz 140 (S. 231) auch
, wo
eine Primärzahl von
bedeuten soll. Da nun wegen (146) nach Satz 162 (S. 319)
,
, … sein muß und
|
|
ist, so erhalten wir
; damit ist gezeigt, daß das Primideal
alle Bedingungen des Hilfssatzes 41 erfüllt.
Hilfssatz 42. Wenn
ein beliebiges Primideal des regulären Kreiskörpers
und
eine Primärzahl von
bedeutet, wenn ferner
eine beliebige Einheit in
, nur nicht die
-te Potenz einer Einheit in
ist, so gibt es ein Primideal
in
, das den Bedingungen
,
|
|
genügt.
Beweis. Es mögen
,
,
, … für
die Bedeutung wie im vorigen Hilfssatz 41 haben; wir nehmen in Satz 152 (S. 276)
|
|
die Zahlen
,
,
,
,
, . . . genügen wiederum, wie man leicht einsieht, der Voraussetzung des Satzes 152; es führt die entsprechende Schlußweise wie in Hilfssatz 41 zu einem Primideal
von der hier verlangten Beschaffenheit.
§ 159. Beweis des ersten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.
Um den ersten Ergänzungssatz für ein Primideal
der ersten Art zu beweisen, wenden wir den Hilfssatz 41 an; diesem zufolge läßt sich ein Primideal
bestimmen, für welches
und
|
|
wird, und das also gewiß ein Primideal erster Art ist. Nach Gleichung (145) haben wir für das Primideal
die Gleichung
,
|
|
wo
eine Primärzahl von
bedeuten soll. Da
ausfällt, so besteht nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit
in
die Gleichung
|
|
und demnach treffen die sämtlichen Bedingungen des Hilfssatzes 40 (S. 319) zu, wenn wir an Stelle der dort mit
bez.
bezeichneten Primideale die beiden Primideale
bez.
nehmen. Nach jenem Hilfssatze gibt es somit eine Einheit
in
derart, daß
wird, wobei
eine Primärzahl von
bedeuten soll. Infolge dieser Tatsache ist nach Hilfssatz 38 (S. 316) auch für jede andere Einheit
in
die Gleichung
erfüllt, wie es der erste Ergänzungssatz behauptet.
Des weiteren bedeute
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b0448036d3f2e513dd80d94095c45d81510269)
ein Primideal zweiter Art in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
. Dann ist nach der Definition eines solchen Primideals für jede Einheit
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
stets
![{\displaystyle \left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3355d411d968a5bbf1498c9b923b68582e83d442)
, und wenn
![{\displaystyle \varkappa }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488d179b692afc46eaf68616eb9e9636ca0e8475)
eine Primärzahl von
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b0448036d3f2e513dd80d94095c45d81510269)
bezeichnet, so ist nach Hilfssatz 37 (S. 314) stets auch
![{\displaystyle \left\{{\frac {\varkappa ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158a0bc386b42cbee843f95e43aaf7476cbea3c3)
. Es gilt daher in der Tat wiederum der erste Ergänzungssatz
![{\displaystyle \left\{{\frac {\xi }{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\varkappa ,\xi }{\mathfrak {l}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cff077b97d0df03a566b17bfabf6df811ce0e25b)
.
§ 160. Beweis des Reziprozitätsgesetzes zwischen zwei beliebigen Primidealen.
Nachdem der erste Ergänzungssatz in § 159 bewiesen worden ist, folgt aus Hilfssatz 39 (S. 317) sofort die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale erster Art.
Es sei zweitens ein Primideal
erster Art und ein Primideal
zweiter Art vorgelegt;
und
seien Primärzahlen von
und
. Im Falle, daß
ausfällt, folgt aus Satz 162 (S. 319)
und mithin die Richtigkeit des Reziprozitätsgesetzes für
und
. Wir nehmen jetzt an, es sei
. Da
von der ersten Art ist, so gibt es eine Einheit
, so daß
ausfällt, und es kann hierbei stets, wie aus einer Betrachtung am Schlusse des Beweises von Hilfssatz 39 (S. 317) hervorgeht, die Einheit
zugleich so bestimmt werden, daß eine gewisse Potenz von
mit einem zu
primen Exponenten
nach
wird. Wir betrachten den Kummerschen Körper
. Nach Satz 148 (S. 251) enthält die Relativdiskriminante dieses Körpers in bezug auf
die zwei Primfaktoren
und
. Da
ein Primideal zweiter Art ist, so gelten wegen der Hilfssätze 36 und 37 für jede Einheit
in
die Gleichungen
, ,
|
|
und demgemäß ist die Anzahl
der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in
bestimmen, gleich
. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in
die Anzahl der Geschlechter
. Wir bestimmen nun nach Hilfssatz 42 (S. 322) ein Primideal
in
von der Beschaffenheit, daß
,
|
|
wird. Wegen der ersteren Gleichung ist
in
weiter zerlegbar. Es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper und
eine Primärzahl von
. Dann besteht das Charakterensystem des Ideals
in
aus den beiden Charakteren
, .
|
(147)
|
Da der zweite Charakter
ist, so bestimmen die Ideale
,
, …,
lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie die oben gefundene obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter zeigt, außer diesen keine weiteren Geschlechter. Mit Benutzung des in § 159 bewiesenen ersten Ergänzungssatzes ergibt sich
,
|
|
d. h. das Produkt der beiden Charaktere (147) ist gleich
. Da jedes beliebige Ideal in
notwendig einem jener
Geschlechter angehören muß, so folgt hieraus, daß für jedes Ideal in
das Produkt seiner beiden Charaktere stets gleich
ist. Wegen
ist
in
weiter zerlegbar; bezeichnet
einen Primfaktor von
in diesem Körper, so sind die beiden Charaktere für
durch die Symbole
|
|
gegeben, und es folgt somit unter Benutzung des in § 159 bewiesenen Ergänzungssatzes notwendig
|
|
oder
,
|
|
d. h. es gilt das Reziprozitätsgesetz für die beiden Primideale
und
.
Es seien drittens zwei Primideale
und
der zweiten Art vorgelegt;
,
seien Primärzahlen von
bez.
. Wir betrachten den Kummerschen Körper
. Die Zahlen
und
sind, wie sich im Beweise des Hilfssatzes 37 herausgestellt hat,
-ten Potenzen von gewissen ganzen Zahlen in
nach
kongruent; das gleiche gilt daher von
, und folglich ist nach Satz 148 (S. 251) die Relativdiskriminante des Körpers
nicht durch
teilbar. Diese Relativdiskriminante enthält somit nur die beiden Primfaktoren
und
. Nun ist für jede Einheit
in
,
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und dementsprechend ist die Anzahl
der Charaktere, welche das Geschlecht eines Ideals in
bestimmen,
. Nach Hilfssatz 35 (S. 312) ist dann in
die Anzahl der Geschlechter
. Ferner läßt sich nach Satz 152 (S. 276) jedenfalls ein Primideal
in
bestimmen derart, daß
, ,
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ausfällt. Wegen der ersten Gleichung ist
in
weiter zerlegbar; es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper und
eine Primärzahl von
. Dann besteht das Charakterensystem des Ideals
in
aus den beiden Charakteren
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(148)
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Da der erste Charakter wegen
dem Satze 162 (S.319) gemäß notwendig ebenfalls verschieden von
ist, so bestimmen die Ideale
,
, ⋯,
lauter voneinander verschiedene Geschlechter, und es gibt, wie bereits gezeigt worden ist, auch hier nicht mehr als
Geschlechter. Wegen
ist
ein Primideal erster Art; es gilt daher nach dem vorigen einerseits für die Primideale
,
, andererseits für die Primideale
,
das Reziprozitätsgesetz, und das Produkt der beiden Charaktere (148) wird folglich
.
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(149)
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Da jedes beliebige Ideal in
einem jener
Geschlechter angehören muß, so folgt aus (149), daß für jedes Ideal das Produkt seiner beiden Charaktere gleich
sein muß. Nun ist das Ideal
gleich der
-ten Potenz eines Primideals
in
. Die beiden Charaktere von
in diesem Körper sind alsdann
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und da ihr Produkt gleich
sein soll, so erhalten wir
.
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Hiermit ist das Reziprozitätsgesetz für zwei Primideale der zweiten Art bewiesen, und nunmehr ist der Beweis des Reziprozitätsgesetzes für zwei beliebige Primideale vollständig erbracht.
§ 161. Beweis des zweiten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz.
Es sei zunächst
ein Primideal erster Art und
eine Primärzahl von
. Wir bestimmen eine Einheit
in
derart, daß
wird, und betrachten dann den durch
und
bestimmten Kummerschen Körper. Wegen
ist
in diesem Körper weiter zerlegbar; es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper. Wir erkennen, daß das Charakterensystem des Ideals
aus dem einen Charakter
besteht, und da somit nach Hilfssatz 35 (S. 312) auch nur ein Geschlecht, nämlich das Hauptgeschlecht, vorhanden ist, so muß dieser Charakter den Wert 1 besitzen. Hieraus, und da nach § 159
ist, folgt sofort die Gleichung
.
Des weiteren sei ein Primideal
der zweiten Art vorgelegt, und es bezeichne
eine Primärzahl von
; dann sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem
oder
ausfällt. Im ersteren Falle lehrt die Betrachtung des Kummerschen Körpers
, daß auch
ist. Im zweiten Palle bestimme man nach Satz 152 (S. 276) ein Primideal
, für welches
ausfällt. Dann ist
gewiß ein Primideal erster Art, und es folgt nach Satz 162 (S. 319), wenn
eine Primärzahl von
bedeutet,
; mithin läßt sich gewiß eine ganze rationale Zahl
so bestimmen, daß
ausfällt. Betrachten wir den Körper
, so besteht für diesen, weil
ist, das Charakterensystem eines Ideals wiederum nur aus einem Charakter und dieser ist stets gleich
. Wenden wir die letztere Tatsache auf einen Primfaktor
von
in diesem Körper an, so folgt
, und berücksichtigen wir die Gleichung
, so entsteht
.
Das Reziprozitätsgesetz für
-te Potenzreste ist zuerst von Kummer bewiesen worden. Der hier dargelegte neue Beweis desselben unterscheidet sich von den Kummerschen Beweisen vor allem darin, daß Kummer zunächst den ersten Ergänzungssatz, und zwar unter einem erheblichen Aufwande von Rechnung, durch eine kunstvolle Erweiterung der Formeln der Kreisteilung gewinnt und dann erst auf Grund der errechneten Formeln das Reziprozitätsgesetz zwischen zwei Primidealen ableitet, während die obige Entwicklung die Beweisgründe für das Reziprozitätsgesetz und seine beiden Ergänzungssätze aus gemeinsamer Quelle schöpft.
Von besonderen Reziprozitätsgesetzen, zu deren Behandlung die Formeln der Kreisteilung ausreichen, sind das Reziprozitätsgesetz für biquadratische Reste [Gauss (3[7]), Eisenstein (8[8], 9[9])], das Reziprozitätsgesetz für kubische Reste [Eisenstein (5[10], 7[11]), Jacobi (1[12])], ferner für bikubische Reste [Gmeiner (1[13], 2[14], 3[15])] und die auf
-te,
-te,
-te Potenzreste bezüglichen Untersuchungen von Jacobi zu nennen [Jacobi (4[16])].
Auch sei endlich noch erwähnt, daß Eisenstein ohne Beweis ein Reziprozitätsgesetz für
-te Potenzreste aufgestellt und dabei auch den Fall in Betracht gezogen hat, daß die Klassenanzahl des Kreiskörpers der
-ten Einheitswurzeln durch
teilbar ist [Eisenstein (1[17], 12[18])].