Hilfssatz 40. Wenn
ein Primideal erster Art in
ist und
eine Primärzahl von
bedeutet, und wenn für jede beliebige Einheit
in
die Gleichung
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besteht, wenn ferner
ein solches von
verschiedenes Primideal erster Art ist, daß
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ausfällt, so gibt es stets eine Einheit
in
von der Art, daß
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wird, wobei
eine Primärzahl von
bezeichnet.
Beweis. Wir verfahren zuvörderst genau wie beim Beweise des vorigen Hilfssatzes und gelangen so unter Einführung gewisser Einheiten
und
wieder zu den drei Formeln (142), (143), (144). Nun ist wegen der Voraussetzung des Hilfssatzes 40
; hieraus und wegen
folgt in Verbindung mit den drei genannten Formeln die Richtigkeit des Hilfssatzes 40.
Soll Satz 151 nur für den Fall
nach
zur Anwendung gelangen, so hat man im vorstehenden Beweise nur nötig, die Einheit
so zu bestimmen, daß außer der Gleichung
noch die Kongruenz
nach
bei einem zu
primen Exponenten
erfüllt wird; es ist eine solche Bestimmung von
hier stets möglich.
§ 157. Ein besonderer Fall des Reziprozitätsgesetzes für zwei Primideale.
Satz 162. Wenn
und
irgend zwei beliebige Primideale eines regulären Kreiskörpers sind, für welche
gilt, so ist stets auch
.
Beweis. Es seien
Primärzahlen bez. von
. Wir betrachten den Kummerschen Körper
und unterscheiden zwei Fälle, je nachdem
ein Primideal erster oder zweiter Art ist.
Im ersten Falle enthält die Relativdiskriminante von
die zwei Primideale
und
, und es gibt nach Hilfssatz 37 eine Einheit
in
, für welche der Charakter
ausfällt. Das Charakterensystem eines Ideals in
besteht daher nur aus einem Charakter, d. h. es ist
und nach Hilfssatz 35 auch
. Wegen
ist
in
weiter zerlegbar;