es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper. Da
primär sind, so fällt nach Hilfssatz 30 (S. 289)
aus, und da
zum Hauptgeschlecht gehört, so ist auch
, wie es der Satz 162 behauptet.
Wenn
ein Primideal zweiter Art ist, so gilt nach Hilfssatz 37 für jede Einheit
in
die Gleichung
, und folglich enthält, wie im Beweise des Hilfssatzes 37 gezeigt worden ist, die Relativdiskriminante von
nur das eine Primideal
. Es ist daher wiederum
und
. Wegen
ist
in
weiter zerlegbar. Es sei
ein Primfaktor von
in diesem Körper. Da
zum Hauptgeschlecht gehört, und mit Rücksicht auf
ist
, und damit ist der Satz 162 vollständig bewiesen.
Soll wiederum Satz 151 und dementsprechend auch Hilfssatz 35 für
nur in dem Fall eines Körpers
, für den
nach
ist, angewandt werden, so ist zum Beweise des Satzes 162 im ersten der beiden vorhin unterschiedenen Fälle der folgende Zusatz erforderlich.
Wenn
ein beliebiges Primideal und
eine Primärzahl von
ist, so erkennen wir aus der Definition des Symbols
auf S. 266 und mit Rücksicht auf Hilfssatz 24 (S. 267) die Richtigkeit der Gleichung
.
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(145)
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Ist nun das Primideal
von der Beschaffenheit, daß
ausfällt, so bestimmen wir eine
-te Einheitswurzel
derart, daß
nach
ausfällt, und fassen statt des Kummerschen Körpers
den Körper
ins Auge. Wir wenden dann die oben dargelegte Schlußweise an. Da
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wird und, wie oben,
ist, andererseits mit Rücksicht auf die in (145) angegebene Tatsache
ausfällt, so folgt
, und deshalb schließen wir
, d. h.
.
Es sei andererseits
. Da
ein Primideal erster Art ist, so gibt es sicher eine Einheit
, für welche
ist, und ferner nach Hilfssatz 37 (S. 314) sicher eine Einheit
, für welche
ausfällt. Auch können