, d. h. in diesem Körper gehört jede Idealklasse dem Hauptgeschlecht an, und der zuletzt genannte Charakter besitzt daher den Wert
. Wir haben nun
, d. h. wegen der Formel auf S. 228
;
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(142)
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ferner
, d. h.
,
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(143)
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und endlich
oder mit Benutzung von (83), (S. 266)
.
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Da nach Hilfssatz 36
und nach Hilfssatz 30
ist, so geht letztere Formel in
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(144)
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über. Da wegen der von uns gemachten Voraussetzung
und
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ist, so folgt aus (144)
, und diese Gleichung liefert mit Benutzung der Formeln (142), (143) die im Hilfssatz 39 behauptete Gleichung.
Will man wiederum den Satz 151 für
nur in dem Falle eines Körpers
anwenden, für den
nach
ausfällt, so wähle man im obigen Beweise die Einheit
derart, daß man außer
noch bei einem geeigneten, zu
primen Exponenten
nach
hat. Eine Bestimmung der Einheit
in dieser Weise ist, wie man leicht sieht, sicher stets dann möglich, wenn
ist. Ist aber
und zugleich
, so kann jene Bedingung ebenfalls erfüllt werden, indem man für
eine geeignete Potenz von
nimmt. Ob die fragliche Bedingung sich erfüllen läßt, bleibt also nur dann zweifelhaft, wenn gleichzeitig
und
ausfällt. In diesem Falle vertauschen wir bei dem obigen Beweise die Rollen von
einerseits und
andererseits; dann bleibt offenbar nur noch der Fall unerledigt, daß zugleich
,
und
,
ausfällt. In diesem Falle erkennt man aber aus den letzten zwei Beziehungen die Behauptung des Hilfssatzes 39 ohne weiteres als richtig.