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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/286

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Beweis. Nach dem Beweise des Hilfssatzes 23 ist jede ganze Zahl in in der Gestalt

und folglich auch in der Gestalt

darstellbar, so daß , , …, , und , , …, ganze Zahlen in sind und überdies zu prim ausfällt. Infolge des letzteren Umstandes können wir

, 

setzen in solcher Weise, daß , , …, ganze Zahlen in sind. Es sei nun

, , ,

wo , , …, ganze rationale positive Zahlen bedeuten sollen; wir setzen

.

Da in sich und nach erweist, so folgt

, .

Ist nun die vorausgesetzte Zahl, für welche nach wird, so erhalten wir weiter

, ,

also auch

, .

Folglich ist eine Zahl in mit der Kongruenzeigenschaft nach . Wir finden nun mit Rücksicht hierauf leicht eine ganze rationale positive Zahl derart, daß die Norm der Zahl im Körper der Kongruenz

,  (89)

genügt; dann erfüllt die ganzzahlige Funktion

die Bedingungen des zu beweisenden Hilfssatzes 25. Denn es ist offenbar , wo eine ganze Zahl in bedeutet. Hieraus ergibt sich leicht durch eine ähnliche Betrachtung wie auf S. 263:

, . (90)

Andererseits erkennen wir unter Berücksichtigung der Kongruenzen

,  ,
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 269. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/286&oldid=- (Version vom 10.11.2016)