Zum Inhalt springen

Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/287

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

daß identisch in eine Gleichung

(91)

gilt, wo eine ganzzahlige Funktion von bedeutet. Diese Gleichung liefert für mit Rücksicht auf (89) die Kongruenz

, , d. h. , .

Wenn in der Gleichung (91) genommen wird, so ergibt sich

und hieraus, da nach ausfällt,

, ,

d. i. wegen (90)

, .

Damit und in Anbetracht von (89) ist der Hilfssatz 25 vollständig bewiesen.

Hilfssatz 26. Wenn , ganze Zahlen in mit den Kongruenzeigenschaften nach und nach bedeuten, und wenn außerdem Normenrest des durch bestimmten Kummerschen Körpers nach ist, so wird stets

.

[Kummer (20[1])].

Beweis. Aus der bekannten Lagrangeschen Formel für die Umkehrung einer Potenzreihe entnimmt man unmittelbar die folgende Identität:

(92)

dabei stelle man sich unter eine beliebige Potenzreihe von , ferner unter eine Potenzreihe vor, deren konstantes Glied von verschieden ist, und denke sich den Zusammenhang der Variabeln und durch die Gleichung vermittelt.

Es seien nun und die zu den Zahlen und gehörenden Funktionen. Da Normenrest des Körpers nach sein soll, so gibt es nach Hilfssatz 25 eine ganzzahlige Funktion -ten Grades derart, daß

,  (93)
,  (94)

und wird.

Wir setzen nun


  1. [360] Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 270. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/287&oldid=- (Version vom 20.2.2017)