daß identisch in
eine Gleichung
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(91)
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gilt, wo
eine ganzzahlige Funktion von
bedeutet. Diese Gleichung liefert für
mit Rücksicht auf (89) die Kongruenz
, , d. h. , .
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Wenn in der Gleichung (91)
genommen wird, so ergibt sich
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und hieraus, da
nach
ausfällt,
, ,
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d. i. wegen (90)
, .
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Damit und in Anbetracht von (89) ist der Hilfssatz 25 vollständig bewiesen.
Hilfssatz 26. Wenn
,
ganze Zahlen in
mit den Kongruenzeigenschaften
nach
und
nach
bedeuten, und wenn außerdem
Normenrest des durch
bestimmten Kummerschen Körpers
nach
ist, so wird stets
.
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[Kummer (20[1])].
Beweis. Aus der bekannten Lagrangeschen Formel für die Umkehrung einer Potenzreihe entnimmt man unmittelbar die folgende Identität:
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(92)
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dabei stelle man sich unter
eine beliebige Potenzreihe von
, ferner unter
eine Potenzreihe vor, deren konstantes Glied von
verschieden ist, und denke sich den Zusammenhang der Variabeln
und
durch die Gleichung
vermittelt.
Es seien nun
und
die zu den Zahlen
und
gehörenden Funktionen. Da
Normenrest des Körpers
nach
sein soll, so gibt es nach Hilfssatz 25 eine ganzzahlige Funktion
-ten Grades
derart, daß
,
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(93)
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,
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(94)
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und
wird.
Wir setzen nun
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- ↑ [360] Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.[WS 1]
Anmerkungen (Wikisource)