29. Die Normenreste und Normennichtreste des Kummerschen Körpers.
§ 129. Die Definition der Normenreste und Normennichtreste.
Es sei, wie in § 125,
eine Zahl des Kreiskörpers
‚ für welche
nicht in
liegt, und es bedeute
den durch
und
bestimmten Kummerschen Körper; für eine Zahl
in
werde die Relativnorm in bezug auf
mit
bezeichnet. Es sei
ein beliebiges Primideal des Kreiskörpers
und
eine beliebige ganze Zahl in
. Wenn dann
nach
der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers
kongruent ist, und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von
stets eine, solche ganze Zahl
im Körper
gefunden werden kann, daß
nach jener Potenz von
ausfällt, so nenne ich
einen Normenrest des Kummerschen Körpers
nach
. In jedem anderen Falle nenne ich
einen Normennichtrest des Kummerschen Körpers
nach
.
§ 130. Der Satz von der Anzahl der Normenreste. Die Verzweigungsideale.
Es gilt der folgende wichtige Satz:
Satz 150. Wenn
ein Primideal des Kreiskörpers
ist, das nicht in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
aufgeht, so ist jede zu
prime Zahl
in
Normenrest des Kummerschen Körpers
nach
.
Wenn dagegen
ein Primideal des Kreiskörpers
ist, das in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
aufgeht, und
im Falle
ein beliebiger positiver Exponent, im Falle
ein beliebiger Erxponent
ist, so sind von allen vorhandenen, zu
primen und nach
einander inkongruenten Zahlen in
genau der
-te Teil Normenreste nach
.
Beweis. Es sei zunächst
ein in der Relativdiskriminante des Körpers
nicht aufgehendes und von
verschiedenes Primideal des Kreiskörpers
; dann sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem
in
zerlegbar ist oder nicht. Im ersteren Falle sei
ein in
aufgehendes Primideal des Kummerschen Körpers
. Im Hinblick auf den Beweis zu Satz 148 können wir, ohne dadurch eine Beschränkung einzuführen, annehmen; es sei
und mithin auch die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
nicht durch
teilbar; es gibt dann gewiß im Körper
ein System von
ganzen Zahlen
, …,
, für welche die
Kongruenzen
|
|
erfüllt sind. Nun ist offenbar jede ganze Zahl des Körpers
nach
einer ganzen Zahl in
kongruent; setzen wir
, , …, , ,
|
|
so daß
,
, …,
ganze Zahlen in
sind, und
,
|
|
so ergibt sich daher
, , ,
|
|
und durch Multiplikation folgt
nach
und daher auch nach
. Damit ist unter der gegenwärtigen Annahme über das Primideal
der erste Teil des Satzes für den Fall
bewiesen. Um zu den Fällen
überzugehen, nehmen wir an, es sei
nach
, und setzen dann
, ,
|
|
so daß dabei
eine ganze, durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl in
bedeutet. Die ganze Zahl
, wobei
eine ganze rationale, der Kongruenz
nach
genügende Zahl sein soll, erfüllt dann die Bedingung
nach
. Durch die gehörige Fortsetzung des hier eingeschlagenen Verfahrens gelangen wir schließlich zu einer ganzen Zahl in
, deren Relativnorm in bezug auf
der Zahl
nach einer beliebig hohen Potenz
kongruent ist.
Es sei andererseits
im Körper
nicht weiter zerlegbar; wir können es wiederum einrichten, daß
nicht durch
teilbar sei, und es ist dann nach Satz 149
jedenfalls kein
-ter Potenzrest nach
. Nach den Folgerungen aus Satz 139 gibt es in
genau
zu
prime
-te Potenzreste nach
; sind diese nach
durch
, …,
vertreten, so fallen die
Zahlen
|
|
sämtlich nach
untereinander inkongruent aus, da
nicht
-ter Potenzrest nach
ist, und es ist also jede zu
prime Zahl in
einer dieser Zahlen nach
kongruent. Setzen wir
, …,
nach
, so daß
, …,
ebenfalls Zahlen in
sind, so folgt
, ,
|
|
und es ist also jede zu
prime Zahl in
der Norm einer geeigneten Zahl in
nach
kongruent; hieraus schließt man weiter, ähnlich wie im vorigen Falle, daß zu jeder zu
primen ganzen Zahl
in
auch in bezug auf eine beliebig hohe Potenz
von
stets eine ganze Zahl des Körpers
gefunden werden kann, deren Relativnorm nach
der Zahl
kongruent ist.
Wir wollen nun den ersten Teil des Satzes 150 auch für den Fall
beweisen, dabei können wir
zu
prim annehmen; wir bezeichnen mit
die höchste in
enthaltene Potenz von
, wobei jedenfalls
sein wird, und setzen
, ,
|
|
wo
eine ganze rationale, zu
prime Zahl bedeuten soll. Ist dann
eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft
nach
, und setzen wir
, so wird
, .
|
(72)
|
Andererseits gelten die Kongruenzen
, ,
|
(73)
|
wo
eine jede positive ganze rationale Zahl und
eine jede positive ganze rationale zu
prime Zahl sein kann. Da die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
im gegenwärtig zu untersuchenden Falle den Faktor
nicht enthalten soll, so ist nach Satz 148 notwendig
.
Es sei zunächst
. Man entnimmt dann leicht aus den Kongruenzen (72) und (73), daß zu jeder beliebigen positiven ganzen rationalen Zahl
stets eine ganze Zahl
in
gefunden werden kann derart, daß die Kongruenz
,
|
|
erfüllt wird. Setzen wir nun
![{\displaystyle {\mathsf {M}}^{*}={\sqrt[{l}]{\mu ^{*}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd3edebdeb92db97af49052ec0cdd03cad163c2e)
und ferner allgemein für jeden Wert von
![{\displaystyle g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3556280e66fe2c0d0140df20935a6f057381d77)
:
,
|
|
so wird jedesmal
eine ganze Zahl in
und
, .
|
|
Hieraus folgt unmittelbar, daß jede ganze Zahl
in
, die der Kongruenz
nach
genügt, Normenrest des Körpers
nach
ist. Die Beschränkung, die hier in der Annahme
nach
liegt, wird leicht aufgehoben. Ist nämlich
eine beliebige zu
prime Zahl, und wird sie nach
der ganzen rationalen Zahl
kongruent, so setzen wir
, wo
eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft
nach
bedeute; dann wird offenbar
nach
, und andererseits werden
und
gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest des Körpers
nach
sein.
Es sei zweitens in Formel (72)
und mithin
; dann können wir, wenn
eine beliebige positive ganze rationale Zahl ist, stets zwei ganze Zahlen
und
in
konstruieren derart, daß
|
(74)
|
wird. Wir setzen gemäß dem Satze 149
, wo
,
, …,
voneinander verschiedene Primideale des Körpers
bedeuten. Die beiden Zahlen
|
|
gesetzt, sind ganze Zahlen, und da
nach
wird, so enthält
eines der in
aufgehenden Primideale, es sei dies etwa das Primideal
, zur ersten Potenz und die anderen in
aufgehenden Primideale gar nicht. Aus den Formeln (74) folgt
, ,
|
|
und wir können nun voraussetzen, daß
in der Reihe der Zahlen
,
, …,
in solcher Weise gewählt sei, daß
nach
und also
nach
ausfällt. Wegen der letzteren Kongruenz ist auch die Zahl
durch
, aber durch keines der Primideale
, …,
teilbar und da auch
nach
ist, so ist
ebenfalls nur durch die erste Potenz von
teilbar. Wir können mit Rücksicht auf das eben Bewiesene die gebrochene Zahl
in der Form eines Bruches schreiben, dessen Zähler und Nenner zu
prim sind. Setzen wir
nach
in solcher Weise, daß
eine ganze Zahl in
ist, so wird
, .
|
|
Da eine solche Formel für jeden positiven Exponenten
möglich ist, so zeigt sich wie vorhin, daß jede zu
prime Zahl Normenrest des Körpers
ist.
Wir gehen jetzt zum Beweise der zweiten Hälfte von Satz 150 über. Es sei zunächst
ein von
verschiedenes, in der Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
aufgehendes Primideal des Körpers
; wir haben dann nach Satz 149
, wo
ein Primideal in
ist. Jede ganze Zahl des Körpers
muß dann, wie schon mehrfach erwähnt wurde, einer ganzen Zahl in
nach
kongruent sein. Soll nun eine gegebene, zu
prime ganze Zahl
in
nach
kongruent der Relativnorm
einer ganzen Zahl
in
sein, und setzen wir
nach
, so folgt notwendig
nach
, und daher auch nach
, d. h.
ist
-ter Potenzrest nach
. Umgekehrt, wenn eine Zahl
in
ein
-ter Potenzrest nach
ist, so ist
offenbar auch kongruent einer Relativnorm
nach
. Wir entnehmen hieraus, daß die
-ten Potenzreste nach
auch zugleich die sämtlichen Normenreste des Körpers
nach
liefern.
Es bleibt endlich die Behandlung des Falles übrig, daß
ist und
in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgeht. Wir haben in diesem Falle
, wo
ein Primideal in
ist, und können es im Hinblick auf Satz 148 stets einrichten, daß die Zahl
entweder der Kongruenz
,
|
|
oder einer der folgenden Kongruenzen genügt:
, ,
|
|
wo
einen der Werte
, …,
bedeutet. Wir wollen alsdann untersuchen, welche Zahlen in
es in diesen zwei Fällen gibt, die kongruent der Relativnorm einer Zahl in
nach
bez.
sind, und entnehmen hieraus leicht die Anzahl der nach jeder höheren Potenz von
einander inkongruenten Normenreste.
Im Falle
nach
ist
durch
, aber nicht durch
teilbar, und es gelten die Kongruenzen
|
(75)
|
wo
![{\displaystyle \varrho _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba97e0dbb8af45b2923c3d93641499e4fa46398)
,
![{\displaystyle \varrho _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f40f6a0d18dbdc85529a5de8311f66d1c262b9)
, …,
![{\displaystyle \varrho _{l-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d58b3ab24c8e4a719d1b0ba260acdc04916f26d9)
gewisse ganze Zahlen in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
bedeuten. Endlich ist
,
|
(76)
|
für
,
,
, …;
,
,
, …,
. Nun genügt offenbar jede zu
prime ganze Zahl
des Körpers
einer Kongruenz von der Gestalt
|
|
wo
eine bestimmte der Zahlen
,
, …,
und die
Exponenten
,
, …,
bestimmte ganze rationale Zahlen aus der Reihe
,
,
, …,
sind. Wegen der Kongruenzen (75) und (76) folgt daher:
. Der Ausdruck rechter Hand stellt, wenn
die Werte
,
, …,
und die Exponenten
,
, …,
unabhängig voneinander je die Werte
,
,
, …,
durchlaufen, genau
Zahlen dar, und diese sind, wie leicht ersichtlich, alle einander inkongruent nach
. Nun ist jede zu
prime Zahl in
, welche der Relativnorm
einer Zahl
in
kongruent nach
ist, notwendig einem Ausdruck dieser Gestalt nach
kongruent, und umgekehrt ist auch jeder Ausdruck von dieser Gestalt, wie man aus (75) entnimmt, der Relativnorm einer Zahl in
nach
kongruent. Mit Hilfe der Kongruenzen (73) erkennt man, daß zwei nach
kongruente, zu
prime Zahlen in
stets gleichzeitig Normenrest oder Normennichtrest nach
sind. Die Anzahl der Normenreste nach
, welche zu
prim und untereinander inkongruent nach
sind, ist also genau gleich
, d. i. gleich dem
-ten Teil der nach
möglichen inkongruenten, zu
primen Zahlen in
, und dieses Resultat kann sofort auf die Potenzen
mit Exponenten
ausgedehnt werden.
Von den übrigen möglichen Annahmen über
werde hier der Kürze wegen nur die einfachste behandelt; es werde nämlich
nach
zugrunde gelegt. Setzen wir dann
, so ist
eine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
, und wenn wir berücksichtigen, daß
nach
wird, so erkennen wir durch eine leichte Rechnung die Richtigkeit der Kongruenzen
|
(77)
|
wo
![{\displaystyle \varrho _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ba97e0dbb8af45b2923c3d93641499e4fa46398)
,
![{\displaystyle \varrho _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1f40f6a0d18dbdc85529a5de8311f66d1c262b9)
, …,
![{\displaystyle \varrho _{l-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15698db0a902b5c813e1b15b4bdde970f4c3a5e0)
gewisse ganze Zahlen in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
bedeuten. Wir haben ferner
,
|
|
wo zur Abkürzung
|
|
gesetzt ist. Nun ergibt sich sofort
. Die einzelnen Summanden in den Ausdrücken für
,
, …,
sind sämtlich jedenfalls durch
teilbar, sie lassen sich ferner in Aggregate von je
Summanden zusammenfassen, die aus einem beliebigen unter ihnen durch die Substitutionen
,
,
, …,
hervorgehen; setzen wir nun ein beliebiges Glied in der Gestalt
an, so bedeutet
eine ganze Zahl in
und kann daher, wie aus dem Beweise des Hilfssatzes 23 bervorgebt, als ganze rationale Funktion von
und mithin auch von
dargestellt werden, deren Koeffizienten ganze oder gebrochene Zahlen in
mit lauter zu
primen Nennern sind. Setzen wir dementsprechend
, so läßt sich das betreffende Aggregat von
Summanden in die Form.
|
|
bringen; die hier in der Klammer stehende Summe fällt, wie leicht ersichtlich, stets kongruent
nach
aus; danach müssen nun die Zahlen
,
, …,
sämtlich kongruent
nach
sein, also wird
, .
|
(78)
|
Endlich ergeben sich leicht die Kongruenzen
,
|
(79)
|
für
,
.
Nun genügt offenbar jede zu
prime ganze Zahl in
einer Kongruenz von der Gestalt
|
|
wo
eine der Zahlen
,
, …,
, und wo die
Exponenten
,
, …,
bestimmte Zahlen aus der Reihe
,
,
, …,
sind. Wegen der vorhin aufgestellten Kongruenzen (77), (78), (79) folgt hieraus:
, .
|
|
Der hier rechts stehende Ausdruck stellt nun, wenn
![{\displaystyle a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
die Werte
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
,
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
, …,
![{\displaystyle l-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0d448948a353d0b2469b88ca918f34e32c8752)
, und wenn die Exponenten
![{\displaystyle a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07)
,
![{\displaystyle a_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270580da7333505d9b73697417d0543c43c98b9f)
, …,
![{\displaystyle a_{l-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf22afbf4d4668a721f05ce5533cea8a2e06def)
unabhängig voneinander die Werte
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
,
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
,
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
, …,
![{\displaystyle l-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0d448948a353d0b2469b88ca918f34e32c8752)
durchlaufen,
![{\displaystyle (l-1)l^{l-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/724f7489c4eff07ec15e2c40b051b582f9089329)
Zahlen dar, und diese sind sämtlich zu
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
prim und einander inkongruent nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89227bb38391eebaf1e942d81fad22c1ef596085)
. Mit Benutzung der Kongruenz
![{\displaystyle N_{k}(1+\lambda {\mathsf {M}})\equiv 1+\lambda ^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaca87350439268a499477bca4e088d3de75c597)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{l+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f405c966a17af84fd20be81f0293d16a7eea38db)
und weiter der Kongruenzen (73) schließen wir hieraus, daß genau der
![{\displaystyle l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac)
-te Teil aller zu
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
primen und nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89227bb38391eebaf1e942d81fad22c1ef596085)
einander inkongruenten Zahlen Normenreste des Körpers
![{\displaystyle k({\mathsf {M}},\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408f0d2d68539b3bdb14344d4e921c30fae20ed0)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
liefert, und übertragen dann dieses Resultat sogleich auf den Fall der Potenzen
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{e}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e306a0ea22355e75b5072782e8bf63f0ec553e63)
mit Exponenten
![{\displaystyle e=l+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccf32ab200d749664a97570dacae692e8e325f28)
bez.
![{\displaystyle e>l+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c30048e20751e4923f581602e4a1b5e428c1801)
.
Das nämliche Resultat ergibt sich durch entsprechende Rechnungen auch dann, wenn
nach
genommen wird, und damit ist der Satz 150 in allen Teilen bewiesen. Es sei jedoch bemerkt, daß wir es in unseren späteren Entwickelungen so einrichten können, daß der Satz 150 lediglich für den oben ausführlich bewiesenen Fall
nach
zur Verwendung gelangt.
Der Satz 150 bringt eine neue, tief eingreifende Eigenschaft der in der Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
aufgehenden Primideale
zum Ausdruck. Diese Eigenschaft entspricht gewissermaßen dem bekannten Satze über die Verzweigungspunkte einer Riemannschen Fläche, wonach eine algebraische Funktion in der Umgebung eines Verzweigungspunktes
-ter Ordnung den Vollwinkel auf den
-ten Teil desselben konform abbildet. Infolgedessen nenne ich die in der Relativdiskri-minante von
in bezug auf
aufgehenden Primideale
auch Verzweigungsideale für den Körper
; es bedeuten hier also „Primfaktor der Relativdiskriminante“ und „Verzweigungsideal“ den nämlichen Begriff, und die Verzweigungsideale sind die
-ten Potenzen der ambigen Primideale.
§ 130.
Das Symbol
.
Der Satz 150 weist uns auf die Möglichkeit hin, die nach einer Potenz
(
im Falle
) vorhandenen, einander inkongruenten Zahlen des Körpers
in
Abteilungen zu sondern, die sämtlich gleich viele Zahlen enthalten, und von denen eine die Normenreste nach
umfaßt. Um diese Sonderung in übersichtlicher Weise vornehmen zu können, führe ich ein neues Symbol
ein, welches zwei beliebigen, von
verschiedenen ganzen Zahlen
,
des Körpers
in bezug auf ein beliebiges Primideal
in
jedesmal eine bestimmte
-te Einheitswurzel zuweist, und zwar geschieht dies in folgender Weise:
Es sei zunächst
ein von
verschiedenes Primideal. Ist dann
genau durch
und
genau durch
teilbar, so bilde man die Zahl
und bringe
in die Gestalt eines Bruches
, dessen Zähler
und Nenner
nicht durch
teilbar sind. Das Symbol
werde dann durch die Formel
|
|
definiert. Es ergeben sich hieraus unmittelbar für dieses Symbol die einfachen Regeln:
|
(80)
|
wo
,
,
,
,
,
beliebige von Null verschiedene ganze Zahlen in
bedeuten können.
Um das neue Symbol für den Fall
zu definieren, stellen wir folgende Überlegungen an:
Wenn eine beliebige ganze Zahl
in
vorgelegt ist, welche der Kongruenz
nach
genügt, und wenn wir setzen
,
|
|
so daß
,
, …,
ganze rationale Zahlen sind, so genügen diese notwendig der Kongruenz
, .
|
|
Setzen wir dann
,
|
|
so stellt
eine ganzzahlige Funktion
-ten Grades dar, und es wird
und .
|
|
Diese Funktion heiße die zur ganzen Zahl
gehörende Funktion. Wir schreiben ferner
, ,
|
(81)
|
welche Verbindungen von Kummer mit Vorteil zur Abkürzung gewisser Rechnungen eingeführt sind [Kummer (12[1])].
Wird die Zahl
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
auf irgendeine Weise in die Gestalt
|
|
gebracht, wo
,
, …,
ganze rationale Zahlen bedeuten, so stellt
|
|
eine ganzzahlige Funktion
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
-ten Grades dar, welche im allgemeinen nicht der Gleichung
![{\displaystyle {\bar {\omega }}(1)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf55772e7fa3982e1118b23ffe37cd43fd3b4eea)
, aber jedenfalls der Kongruenz
,
|
|
genüge leistet und also für
zu
prim ausfällt. Zwischen den Differentialquoten von
für
und den soeben eingeführten Differentialquotienten (81) bestehen folgende Kongruenzen:
|
|
Die Richtigkeit dieser Kongruenzen erkennen wir leicht wegen
|
|
in der ersten Formel bedeutet
eine bestimmte ganzzahlige Funktion von
, und die zweite Formel soll besagen, daß in den Entwicklungen der beiden Seiten dieser Kongruenz nach Potenzen von
die Koeffizienten von
,
,
, …,
nach
kongruent ausfallen.
Sind
,
, irgend zwei ganze Zahlen in
mit der Kongruenzeigenschaft
,
nach
, so definieren wir das Symbol
wie folgt:
.
|
(82)
|
Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Regeln:
|
(83)
|
wo
,
,
,
,
,
beliebige ganze Zahlen
nach
in
bedeuten können. Bezeichnet
eine Primitivzahl nach
und
die entsprechende Substitution der Gruppe des Kreiskörpers
, so gilt, wie leicht ersichtlich ist, die weitere Formel
.
|
(84)
|
Sind
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen des Körpers
, so definiere ich das Symbol
durch die Formel
.
|
|
Für den Fall, daß eine der Zahlen
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
,
![{\displaystyle \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161)
oder beide durch
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
teilbar sind, vergleiche man die Bemerkungen gegen Schluß des § 133.
§ 132.
Einige Hilfssätze über das Symbol
und über Normenreste nach dem Primideal
.
Hilfssatz 24. Wenn
eine ganze Zahl in
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
ist, so gilt für die Norm
von
in
die Kongruenz
, .
|
|
[Kummer (20[2])].
Beweis. Es bedeute
die zu
gehörende Funktion, und es werde
|
|
gesetzt, wo das Produkt über die Werte
zu erstrecken ist. Der Ausdruck
stellt eine ganzzahlige Funktion von
dar und die Koeffizienten aller durch
teilbaren Glieder dieser Funktion sind offenbar durch
und folglich wegen der Rationalität der Koeffizienten auch durch
teilbar. Durch Entwicklung nach Potenzen von
ergibt sich nun:
[WS 3]
|
(85)
|
Setzen wir erstens in dieser Entwicklung der Reihe nach
|
|
ein und addieren die betreffenden Formeln, so entsteht unter Berücksichtigung von
|
|
die Gleichung:
[WS 3]
|
(86)
|
wobei
das Aggregat der durch
teilbaren Glieder der Entwicklung andeutet.
Setzen wir zweitens in der Entwicklung (85)
ein und bilden den
-ten Differentialquotienten nach
, so wird derselbe für
:
|
(87)
|
Durch Vergleichung der beiden Formeln (86) und (87) ergibt sich
, ,
|
|
d. h. die Koeffizienten von
,
, …,
auf der linken Seite sind den entsprechenden Koeffizienten rechts nach
kongruent, und wenn wir beide Seiten dieser Kongruenz in den Exponenten von
setzen, so erhalten wir zunächst in demselben Sinne, dann aber mit Rücksicht auf die zu Beginn dieses Beweises gemachte Bemerkung auch vollständig die Kongruenz der zwei ganzzahligen Funktionen:
, ,
|
|
und folglich für
:
, ,
|
|
womit der Hilfssatz 24 bewiesen ist.
Hilfssatz 25. Wenn die ganzen Zahlen
,
in
die Kongruenzeigenschaften
nach
und
nach
besitzen, und wenn außerdem
kongruent der Relativnorm einer ganzen Zahl
des durch
bestimmten Kummerschen Körpers
nach
ist, so existiert eine ganzzahlige Funktion
vom
-ten Grade in
, derart, daß
ist und die Kongruenzen
,
|
|
und
|
|
erfüllt sind. [Kummer (20[2])]. Beweis. Nach dem Beweise des Hilfssatzes 23 ist jede ganze Zahl
in
in der Gestalt
|
|
und folglich auch in der Gestalt
|
|
darstellbar, so daß
,
, …,
,
und
,
, …,
ganze Zahlen in
sind und überdies
zu
prim ausfällt. Infolge des letzteren Umstandes können wir
,
|
|
setzen in solcher Weise, daß
,
, …,
ganze Zahlen in
sind. Es sei nun
, , ,
|
|
wo
,
, …,
ganze rationale positive Zahlen bedeuten sollen; wir setzen
.
|
|
Da in
sich
und
nach
erweist, so folgt
, .
|
|
Ist nun
die vorausgesetzte Zahl, für welche
nach
wird, so erhalten wir weiter
, ,
|
|
also auch
, .
|
|
Folglich ist
eine Zahl in
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
. Wir finden nun mit Rücksicht hierauf leicht eine ganze rationale positive Zahl
derart, daß die Norm der Zahl
im Körper
der Kongruenz
,
|
(89)
|
genügt; dann erfüllt die ganzzahlige Funktion
|
|
die Bedingungen des zu beweisenden Hilfssatzes 25. Denn es ist offenbar
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet. Hieraus ergibt sich leicht durch eine ähnliche Betrachtung wie auf S. 263:
, .
|
(90)
|
Andererseits erkennen wir unter Berücksichtigung der Kongruenzen
, ,
|
|
daß identisch in
![{\displaystyle x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
eine Gleichung
|
(91)
|
gilt, wo
eine ganzzahlige Funktion von
bedeutet. Diese Gleichung liefert für
mit Rücksicht auf (89) die Kongruenz
, , d. h. , .
|
|
Wenn in der Gleichung (91)
genommen wird, so ergibt sich
|
|
und hieraus, da
nach
ausfällt,
, ,
|
|
d. i. wegen (90)
, .
|
|
Damit und in Anbetracht von (89) ist der Hilfssatz 25 vollständig bewiesen.
Hilfssatz 26. Wenn
,
ganze Zahlen in
mit den Kongruenzeigenschaften
nach
und
nach
bedeuten, und wenn außerdem
Normenrest des durch
bestimmten Kummerschen Körpers
nach
ist, so wird stets
.
|
|
[Kummer (20[2])].
Beweis. Aus der bekannten Lagrangeschen Formel für die Umkehrung einer Potenzreihe entnimmt man unmittelbar die folgende Identität:
|
(92)
|
dabei stelle man sich unter
eine beliebige Potenzreihe von
, ferner unter
eine Potenzreihe vor, deren konstantes Glied von
verschieden ist, und denke sich den Zusammenhang der Variabeln
und
durch die Gleichung
vermittelt.
Es seien nun
und
die zu den Zahlen
und
gehörenden Funktionen. Da
Normenrest des Körpers
nach
sein soll, so gibt es nach Hilfssatz 25 eine ganzzahlige Funktion
-ten Grades
derart, daß
,
|
(93)
|
,
|
(94)
|
und
wird.
Wir setzen nun
|
|
diese Funktionen werden nur an der Stelle
![{\displaystyle v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3d414a23bf4ecfa36cdd039241efc60a5bd9e0)
betrachtet werden, und es sollen die Logarithmen so genommen werden, daß sie für
![{\displaystyle v=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3d414a23bf4ecfa36cdd039241efc60a5bd9e0)
reell sind.
Ersetzen wir die Zeichen
,
,
in der dritten Formelzeile auf S. 266 oben bez. durch
,
,
, so wird aus derselben
, .
|
|
Aus Hilfssatz 24 ergibt sich unter Berücksichtigung von (93) die Kongruenz
,
|
|
und folglich wird
, .
|
(95)
|
Andererseits gilt mit Rücksicht auf (94) die Kongruenz
,
|
|
welche so aufzufassen ist, daß in den Entwicklungen nach Potenzen von
die Koeffizienten von
,
, …,
auf den beiden Seiten einander nach
kongruent sind, und hieraus ergibt sich die Entwicklung
|
(96)
|
welche so aufzufassen ist, daß die Koeffizienten von
,
, …,
auf den beiden Seiten einander nach
kongruent sind.
Endlich betrachten wir die Funktion
. Wegen
nach
wird
eine Potenzreihe, deren konstantes Glied
nach
ist. Ferner folgt leicht
,
|
|
in dem Sinne, daß die Koeffizienten von
,
, …,
auf den beiden Seiten einander nach
kongruent sind. Es gilt daher weiter in demselben Sinne
, ,
|
|
und es folgt hieraus endlich in eben demselben Sinne die Entwicklung
|
(97)
|
Die Zusammenstellung der Kongruenz (95) und der beiden Entwicklungen (96), (97) mit (92) liefert, wegen
und
nach
für
, die folgende Kongruenz:
, ,
|
|
d. i. nach der Definition (82) des Symbols
![{\displaystyle \left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08110eaf3ad9902370f4bd28a46310acb46f6200)
§ 131:
,
|
|
und hiermit ist der Hilfssatz 26 bewiesen.
§ 133.
Das Symbol
zur Unterscheidung zwischen Normenresten und Normennichtresten.
Wir sind jetzt in den Stand gesetzt, soweit die betreffenden Symbole bereits definiert sind, die Richtigkeit der folgenden Behauptung einzusehen:
Satz 151. Wenn
zwei beliebige ganze Zahlen in
sind, nur daß
nicht in
liegt, und wenn
ein beliebiges Primideal des Kreiskörpers
bedeutet, so ist
Normenrest oder Normennichtrest des durch
bestimmten Kummerschen Körpers
nach
, je nachdem
oder
|
|
ausfällt.
Beweis. Es sei zunächst das Primideal
von
verschieden und gehe nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
auf. Ist
eine ganze Zahl in
derart, daß
die
-te Potenz einer Zahl in
ist, so gilt stets
; danach und mit Rücksicht auf Satz 148 können wir hier annehmen, daß
nicht durch
teilbar ist. Wir unterscheiden zwei Fälle, je nachdem
im Körper
als Produkt von
Primidealen
, …,
darstellbar wird oder in
Primideal bleibt. Nach Satz 149 ist im ersteren Falle
, im letzteren
und
.
Im ersteren Falle bestimmen wir eine ganze Zahl
in
, welche durch
, aber nicht durch
und auch nicht durch eines der Primideale
, …,
teilbar ist; dann geht in der Relativnorm
das Primideal
genau zur ersten Potenz auf. Ist nun
die in
enthaltene Potenz von
, so läßt sich
als ein Bruch schreiben, dessen Zähler und Nenner zu
prim sind, und folglich sind Zähler und Nenner dieses Bruches nach Satz 150 Normenreste des Körpers
nach
. Das gleiche gilt also auch von
. Da nach der Definition in § 131
|
|
ist, so erweist sich im ersteren Falle der Satz 151 als richtig.
Im zweiten Falle ist die Relativnorm einer ganzen Zahl
in
jedesmal genau durch eine solche Potenz von
teilbar, deren Exponent ein Vielfaches von
ist. Es sei wiederum
die in
enthaltene Potenz von
; ist dann
kein Vielfaches von
, so kann also
nicht Nonnenrest nach
sein; in diesem Falle wird andererseits
. Ist dagegen
ein Vielfaches von
, und bedeutet
eine ganze durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl in
, so setzen wir
und erkennen wie im ersteren Falle
als Normenrest nach
; andererseits ist jetzt
.
|
|
Damit ist der Satz 151 auch für den zweiten Fall bewiesen.
Wir nehmen jetzt an, es sei die Relativdiskriminante des Körpers
durch das Primideal
teilbar;
soll dabei von
verschieden sein. Es gehe
in
genau zur
-ten und in
genau zur
-ten Potenz auf; dann ist
jedenfalls kein Vielfaches von
. Die Zahl
läßt sich in die Gestalt eines Bruches
setzen, dessen Zähler
und dessen Nenner
zu
prim sind. Die Zahl
ist eine nicht durch
teilbare ganze Zahl; nach dem Beweise des Satzes 150 auf S. 261 ist eine solche ganze Zahl dann und nur dann Normenrest des Körpers
nach
, wenn sie
-ter Potenzrest nach
ist, d. i. hier, wenn
und also
ist; damit ist für den gegenwärtigen Fall wiederum der Satz 151 als richtig erkannt.
Es sei endlich
. Wir fassen lediglich den Fall ins Auge, daß
nach
ist: es ist dies der einzige Fall, für den wir die betreffenden Sätze späterhin brauchen werden; die anderen Fälle gestatten übrigens eine ähnliche Behandlung. Beim Beweise machen wir noch die nicht wesentlich einschränkende Annahme
nach
. Wegen der Annahme
nach
kann man laut Satz 150 genau
Normenreste
des Körpers
nach
bilden, welche kongruent
nach
ausfallen und untereinander nach
inkongruent sind. Andererseits muß ein jeder Normenrest
von
nach
, für den man
nach
hat, laut Hilfssatz 26 die Bedingung
erfüllen. Wegen
|
|
ergibt sich nach (82)
.
|
(98)
|
Es sei nun erstens
irgendeine ganze Zahl in
mit der Kongruenzeigenschaft
nach
, und es werde
gesetzt, wo
eine Zahl aus der Reihe
,
,
, …,
bedeuten soll; dann ist offenbar
; dagegen fällt jedesmal
aus, wenn
eine von
verschiedene Zahl aus der Reihe
,
,
, …,
bedeutet. Wählen wir ferner eine ganze Zahl
in
, welche ebenfalls kongruent
nach
, aber keiner der
Zahlen
,
,
, …,
nach
kongruent ist, so sind auch die
Zahlen
,
,
, …,
nach
sämtlich untereinander inkongruent und zugleich keiner der ersteren
Zahlen kongruent; unter den letzteren
Zahlen gibt es wegen (98) offenbar eine und nur eine Zahl – es sei dies etwa
– von der Art, daß
ist. Fahren wir in dieser Weise fort, so erkennen wir, daß die Anzahl der vorhandenen nach
inkongruenten Zahlen
, die kongruent
nach
sind und der Bedingung
genügen, genau gleich
ist, und aus der Übereinstimmung dieser Anzahl mit der oben gefundenen für die Normemeste
ist ersichtlich, daß umgekehrt auch jede Zahl
mit diesen zwei Eigenschaften Normenrest des Körpers
nach
ist.
Durch die bisherigen Überlegungen ist der Satz 151 in allen Teilen bewiesen; für den Fall
allerdings nur soweit, als für die Zahlen
die Kongruenzeigenschaften
nach
und
nach
erfüllt sind. Die
betreffende Einschränkung ist offenbar leicht aufzuheben.
Aus dem Satze 151 folgt, bei Benutzung der ersten Formel in (80) und (83), die Formel
,
|
|
wo
ein beliebiges Primideal in
bedeutet und
ein Normenrest des Körpers
nach
sein soll.
Um nun das Symbol
auch für den Fall zu definieren, daß eine der beiden Zahlen
oder beide durch
teilbar sind, braucht man nur die allgemeine Gültigkeit der Formeln
,
|
|
festzusetzen, wobei
ein beliebiger Normenrest des Körpers
nach
bedeuten soll. Bei dieser Festsetzung folgt dann insbesondere
.
|
|
Wir können überhaupt die Definition des Symbols
auf die Formeln
, ,
,
|
|
gründen, wo
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
eine zu
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
prime ganze Zahl in
![{\displaystyle k(\zeta ),\ \nu ^{\ast }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/863b9d0a1d771b2f79c04fcecb9e052b65f10b0e)
ein Normenrest des Körpers
![{\displaystyle k\left({\sqrt[{l}]{\mu }},\ \zeta \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9818d51ec7885bbc30f7f5112d14a3fb5867952a)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
und
![{\displaystyle \nu ,\ \nu _{1},\ \nu _{2},\ \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fd280ba8d961b8871820e1923fef0c41d04874)
beliebige ganze Zahlen in
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
sein sollen (vgl. § 166). Ich habe jedoch gegenwärtig die obige Definition (82) gewählt, welche unmittelbar an die Entwicklungen von
Kummer anknüpft.
Schließlich sei hier bemerkt, daß nunmehr das zu Anfang des § 131 gesteckte Ziel erreicht ist; wenn nämlich
eine beliebige Potenz eines Primideals
bedeutet, wobei im Falle
der Exponent
sei, so kann offenbar ein vollständiges System zu
primer und nach
inkongruenter Zahlen
in
mit Rücksicht auf die Werte, die das Symbol
annimmt, in
Abteilungen von gleich vielen Zahlen gesondert werden, von denen die eine Abteilung die sämtlichen im System befindlichen Normenreste des Kummerschen Körpers
nach
darstellt.