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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/278

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daß eine ganze Zahl in ist, so wird

, .

Da eine solche Formel für jeden positiven Exponenten möglich ist, so zeigt sich wie vorhin, daß jede zu prime Zahl Normenrest des Körpers ist.

Wir gehen jetzt zum Beweise der zweiten Hälfte von Satz 150 über. Es sei zunächst ein von verschiedenes, in der Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf aufgehendes Primideal des Körpers ; wir haben dann nach Satz 149 , wo ein Primideal in ist. Jede ganze Zahl des Körpers muß dann, wie schon mehrfach erwähnt wurde, einer ganzen Zahl in nach kongruent sein. Soll nun eine gegebene, zu prime ganze Zahl in nach kongruent der Relativnorm einer ganzen Zahl in sein, und setzen wir nach , so folgt notwendig nach , und daher auch nach , d. h. ist -ter Potenzrest nach . Umgekehrt, wenn eine Zahl in ein -ter Potenzrest nach ist, so ist offenbar auch kongruent einer Relativnorm nach . Wir entnehmen hieraus, daß die -ten Potenzreste nach auch zugleich die sämtlichen Normenreste des Körpers nach liefern.

Es bleibt endlich die Behandlung des Falles übrig, daß ist und in der Relativdiskriminante des Körpers aufgeht. Wir haben in diesem Falle , wo ein Primideal in ist, und können es im Hinblick auf Satz 148 stets einrichten, daß die Zahl entweder der Kongruenz

, 

oder einer der folgenden Kongruenzen genügt:

, ,

wo einen der Werte , …, bedeutet. Wir wollen alsdann untersuchen, welche Zahlen in es in diesen zwei Fällen gibt, die kongruent der Relativnorm einer Zahl in nach bez. sind, und entnehmen hieraus leicht die Anzahl der nach jeder höheren Potenz von einander inkongruenten Normenreste.

Im Falle nach ist durch , aber nicht durch teilbar, und es gelten die Kongruenzen

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