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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

Folgerungen aus Satz 139 gibt es in $k(\zeta )$ genau $r={\frac {n({\mathfrak {w}})-1}{l}}$ zu ${\mathfrak {w}}$ prime $l$-te Potenzreste nach ${\mathfrak {w}}$; sind diese nach ${\mathfrak {w}}$ durch $\varrho _{1}$, …, $\varrho _{r}$ vertreten, so fallen die $n({\mathfrak {w}})-1$ Zahlen

$\varrho _{i}\mu ^{g}$ $\left({\begin{aligned}i&=1,\,2,\,\ldots ,\,r,\\g&=0,\,1,\,2,\,\ldots ,\,l-1\end{aligned}}\right)$

sämtlich nach ${\mathfrak {w}}$ untereinander inkongruent aus, da $\mu$ nicht $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$ ist, und es ist also jede zu ${\mathfrak {w}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$ einer dieser Zahlen nach ${\mathfrak {w}}$ kongruent. Setzen wir $\varrho _{1}\equiv \alpha _{1}^{l}$, …, $\varrho _{r}\equiv \alpha _{r}^{l}$ nach ${\mathfrak {w}}$, so daß $\alpha _{1}$, …, $\alpha _{r}$ ebenfalls Zahlen in $k(\zeta )$ sind, so folgt

$\varrho _{i}\mu ^{g}\equiv N_{k}(\alpha _{i}{\mathsf {M}}^{g})$, $({\mathfrak {w}})$,

und es ist also jede zu ${\mathfrak {w}}$ prime Zahl in $k(\zeta )$ der Norm einer geeigneten Zahl in $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ nach ${\mathfrak {w}}$ kongruent; hieraus schließt man weiter, ähnlich wie im vorigen Falle, daß zu jeder zu ${\mathfrak {w}}$ primen ganzen Zahl $\nu$ in $k(\zeta )$ auch in bezug auf eine beliebig hohe Potenz ${\mathfrak {w}}^{e}$ von ${\mathfrak {w}}$ stets eine ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ gefunden werden kann, deren Relativnorm nach ${\mathfrak {w}}^{e}$ der Zahl $\nu$ kongruent ist.

Wir wollen nun den ersten Teil des Satzes 150 auch für den Fall ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ beweisen, dabei können wir $\mu$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim annehmen; wir bezeichnen mit $\lambda ^{m}$ die höchste in $\mu ^{l-1}-1$ enthaltene Potenz von $\lambda$, wobei jedenfalls $m\geqq 1$ sein wird, und setzen

$\mu ^{l-1}\equiv 1+a\lambda ^{m}$, $({\mathfrak {l}}^{m+1})$,

wo $a$ eine ganze rationale, zu $l$ prime Zahl bedeuten soll. Ist dann $a^{*}$ eine ganze rationale Zahl mit der Kongruenzeigenschaft $aa^{*}\equiv -1$ nach $l$, und setzen wir $\mu ^{*}=\mu ^{a^{*}(l-1)}$, so wird

$\mu ^{*}\equiv 1-\lambda ^{m}$, $({\mathfrak {l}}^{m+1})$.

(72)

Andererseits gelten die Kongruenzen

$\left\{{\begin{aligned}(1-\lambda ^{g+1})^{l}&\equiv 1+\lambda ^{l+g}\\(1-\lambda ^{g+1})^{hl}&\equiv 1+h\lambda ^{l+g}\end{aligned}}\right\}$, $({\mathfrak {l}}^{l+g+1})$,

(73)

wo $g$ eine jede positive ganze rationale Zahl und $h$ eine jede positive ganze rationale zu $l$ prime Zahl sein kann. Da die Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\,\zeta )$ in bezug auf $k(\zeta )$ im gegenwärtig zu untersuchenden Falle den Faktor ${\mathfrak {l}}$ nicht enthalten soll, so ist nach Satz 148 notwendig $m\geqq l$.

Es sei zunächst $m=l$. Man entnimmt dann leicht aus den Kongruenzen (72) und (73), daß zu jeder beliebigen positiven ganzen rationalen Zahl $g$ stets eine ganze Zahl $\alpha _{g}$ in $k(\zeta )$ gefunden werden kann derart, daß die Kongruenz

$\mu ^{*}\alpha _{g}^{l}\equiv 1-\lambda ^{l}+\lambda ^{l+g}$, $({\mathfrak {l}}^{l+g+1})$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 259. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/276&oldid=- (Version vom 2.10.2016)