Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/275

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

Beweis. Es sei zunächst ${\mathfrak {w}}$ ein in der Relativdiskriminante des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nicht aufgehendes und von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenes Primideal des Kreiskörpers $k(\zeta )$; dann sind zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem ${\mathfrak {w}}$ in $k({\mathsf {M}},\zeta )$ zerlegbar ist oder nicht. Im ersteren Falle sei ${\mathfrak {W}}$ ein in ${\mathfrak {w}}$ aufgehendes Primideal des Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$. Im Hinblick auf den Beweis zu Satz 148 können wir, ohne dadurch eine Beschränkung einzuführen, annehmen; es sei $\mu$ und mithin auch die Relativdiskriminante der Zahl ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ in bezug auf $k(\zeta )$ nicht durch ${\mathfrak {W}}$ teilbar; es gibt dann gewiß im Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ ein System von $l$ ganzen Zahlen ${\mathsf {A}}_{1}$, …, ${\mathsf {A}}_{l}$, für welche die $l$ Kongruenzen

${\begin{aligned}\left.{\begin{alignedat}{2}{\mathsf {A}}_{1}&+{\mathsf {A}}_{2}{\mathsf {M}}&+\ldots +&{\mathsf {A}}_{l}{\mathsf {M}}^{l-1}&\equiv v,\\{\mathsf {A}}_{1}&+{\mathsf {A}}_{2}\zeta {\mathsf {M}}&+\ldots +&{\mathsf {A}}_{l}(\zeta {\mathsf {M}})^{l-1}&\equiv 1,\\{\mathsf {A}}_{1}&+{\mathsf {A}}_{2}\zeta ^{2}{\mathsf {M}}&+\ldots +&{\mathsf {A}}_{l}(\zeta ^{2}{\mathsf {M}})^{l-1}&\equiv 1,\\&\;\vdots &\ddots \quad &\qquad \vdots &\;\vdots \\{\mathsf {A}}_{1}&+{\mathsf {A}}_{2}\zeta ^{l-1}{\mathsf {M}}&+\ldots +&{\mathsf {A}}_{l}(\zeta ^{l-1}{\mathsf {M}})^{l-1}&\equiv 1,\\\end{alignedat}}\right\}({\mathfrak {W}})\end{aligned}}$

erfüllt sind. Nun ist offenbar jede ganze Zahl des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {W}}$ einer ganzen Zahl in $k(\zeta )$ kongruent; setzen wir

${\mathsf {A}}_{1}\equiv \alpha _{1}$, ${\mathsf {A}}_{2}\equiv \alpha _{2}$, …, ${\mathsf {A}}_{l}\equiv \alpha _{l},$, $({\mathfrak {W}})$,

so daß $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, …, $\alpha _{l}$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ sind, und

${\mathsf {A}}=\alpha _{1}+\alpha _{2}{\mathsf {M}}+\cdots +\alpha _{l}{\mathsf {M}}^{l-1}$,

so ergibt sich daher

$v\equiv {\mathsf {A}}$, $1\equiv S{\mathsf {A}},\ldots ,1\equiv S^{l-1}{\mathsf {A}}$, $({\mathfrak {W}})$,

und durch Multiplikation folgt $v\equiv N_{k}({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {W}}$ und daher auch nach ${\mathfrak {w}}$. Damit ist unter der gegenwärtigen Annahme über das Primideal ${\mathfrak {w}}$ der erste Teil des Satzes für den Fall $e=1$ bewiesen. Um zu den Fällen $e>1$ überzugehen, nehmen wir an, es sei $v\not \equiv N_{k}({\mathsf {A}})$ nach ${\mathfrak {w}}^{2}$, und setzen dann

${\frac {v}{N_{k}({\mathsf {A}})}}\equiv 1+\omega$, $({\mathfrak {w}}^{2})$,

so daß dabei $\omega$ eine ganze, durch ${\mathfrak {w}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {w}}^{2}$ teilbare Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet. Die ganze Zahl ${\mathsf {B}}={\mathsf {A}}(1+l^{*}\omega )$, wobei $l^{*}$ eine ganze rationale, der Kongruenz $ll^{*}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {w}}$ genügende Zahl sein soll, erfüllt dann die Bedingung $v=N_{k}({\mathsf {B}})$ nach ${\mathfrak {w}}^{2}$. Durch die gehörige Fortsetzung des hier eingeschlagenen Verfahrens gelangen wir schließlich zu einer ganzen Zahl in $k({\mathsf {M}},\zeta )$, deren Relativnorm in bezug auf $k(\zeta )$ der Zahl $v$ nach einer beliebig hohen Potenz ${\mathfrak {w}}^{e}$ kongruent ist.

Es sei andererseits ${\mathfrak {w}}$ im Körper $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nicht weiter zerlegbar; wir können es wiederum einrichten, daß $\mu$ nicht durch ${\mathfrak {w}}$ teilbar sei, und es ist dann nach Satz 149 $\mu$ jedenfalls kein $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {w}}$. Nach den

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 258. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/275&oldid=- (Version vom 26.9.2016)