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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/271

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Relativdiskriminante des durch und bestimmten Kummerschen Körpers durch teilbar ist, so habe das Symbol den Wert .

Ist dagegen die Relativdiskriminante dieses Körpers nicht durch teilbar, so kann man nach Satz 148 stets eine Zahl in finden derart, daß eine ganze, nicht mehr durch teilbare Zahl in wird. Ist selbst zu prim, so erfüllt bereits diese Bedingung. Wir definieren dann, wenn ist, das fragliche Symbol durch die Formel

.

Wenn aber ist, so kann, da die Relativdiskriminante von prim zu sein soll, nach dem Satze 148 die Zahl überdies so gewählt werden, daß nach ausfällt. Ist dies geschehen, so gilt eine Kongruenz von der Gestalt

, ,

wo eine bestimmte Zahl aus der Reihe , , , …, bedeutet. Ich definiere dann das Symbol durch die Gleichung

.

Ist die -te Potenz einer ganzen Zahl in und ein beliebiges Primideal in , so werde stets genommen.

Auf diese Weise ist der Wert des Symbols für jede ganze Zahl und für jedes Primideal in eindeutig festgelegt, und zwar wird dieser Wert entweder gleich oder gleich einer bestimmten -ten Einheitswurzel.

Ist endlich ein beliebiges Ideal des Körpers und hat man , wo , , …, Primideale in sind, so möge, wenn eine beliebige ganze Zahl in ist, das Symbol durch die folgende Gleichung definiert werden:

.

Sind , beliebige Ideale in , so gilt dann offenbar die Gleichung:

.

§ 128. Die Primideale des Kummerschen Körpers.

Es sei eine ganze Zahl in , aber keine Zahl dieses Körpers. Die Aufgabe, die Primideale des Kreiskörpers in Primideale des Kummerschen Körpers zu zerlegen, wird durch folgenden Satz gelöst:

Satz 149. Ein beliebiges Primideal in ist in dem durch und bestimmten Kummerschen Körper entweder gleich der -ten