Relativdiskriminante des durch
und
bestimmten Kummerschen Körpers durch
teilbar ist, so habe das Symbol
den Wert
.
Ist dagegen die Relativdiskriminante dieses Körpers
nicht durch
teilbar, so kann man nach Satz 148 stets eine Zahl
in
finden derart, daß
eine ganze, nicht mehr durch
teilbare Zahl in
wird. Ist
selbst zu
prim, so erfüllt bereits
diese Bedingung. Wir definieren dann, wenn
ist, das fragliche Symbol durch die Formel
.
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Wenn aber
ist, so kann, da die Relativdiskriminante von
prim zu
sein soll, nach dem Satze 148 die Zahl
überdies so gewählt werden, daß
nach
ausfällt. Ist dies geschehen, so gilt eine Kongruenz von der Gestalt
, ,
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wo
eine bestimmte Zahl aus der Reihe
,
,
, …,
bedeutet. Ich definiere dann das Symbol
durch die Gleichung
.
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Ist
die
-te Potenz einer ganzen Zahl in
und
ein beliebiges Primideal in
, so werde stets
genommen.
Auf diese Weise ist der Wert des Symbols
für jede ganze Zahl
und für jedes Primideal
in
eindeutig festgelegt, und zwar wird dieser Wert entweder gleich
oder gleich einer bestimmten
-ten Einheitswurzel.
Ist endlich
ein beliebiges Ideal des Körpers
und hat man
, wo
,
, …,
Primideale in
sind, so möge, wenn
eine beliebige ganze Zahl in
ist, das Symbol
durch die folgende Gleichung definiert werden:
.
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Sind
,
beliebige Ideale in
, so gilt dann offenbar die Gleichung:
.
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§ 128. Die Primideale des Kummerschen Körpers.
Es sei
eine ganze Zahl in
, aber
keine Zahl dieses Körpers. Die Aufgabe, die Primideale des Kreiskörpers
in Primideale des Kummerschen Körpers
zu zerlegen, wird durch folgenden Satz gelöst:
Satz 149. Ein beliebiges Primideal
in
ist in dem durch
und
bestimmten Kummerschen Körper
entweder gleich der
-ten