Die Zahl
ist sicher keine ganze Zahl, da ihre Relativnorm in bezug auf
, d. h.
wegen
eine gebrochene Zahl ist, also ist die Zahl
nicht durch
teilbar; mithin ist das Ideal
von
verschieden. Andererseits ist
auch nicht
, da die Relativnorm der Zahl
wegen
,
|
(71)
|
durch
teilbar ist. Da sich
erweist, so ist
ein ambiges Ideal, und da dasselbe ein Faktor von
sein muß, so gehört unter den gegenwärtigen Umständen
zur ersten von den drei in § 57 beim Beweise des Satzes 93 unterschiedenen Arten von Primidealen des Unterkörpers, d. h. wir haben
, wo
ein Primideal und offenbar ersten Grades im Körper
bedeutet. Aus der Kongruenz (71) ergibt sich dann
.
Nunmehr bestimmen wir zwei ganze rationale positive Zahlen
und
, so daß
wird, und setzen
.
|
|
Wegen
folgt
,
|
|
und wir schließen aus diesem Ausdrucke, daß
genau durch die
-te Potenz von
teilbar ist. Da von jeder Differenz aus irgend zwei zu
relativ konjugierten Zahlen das gleiche gilt, so enthält die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
genau die
-te Potenz des Ideals
. Hieraus folgt, da
nur durch die erste Potenz von
teilbar ist, nach Hilfssatz 23, daß auch die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
genau durch die angegebene Potenz von
teilbar sein muß.
Durch den eben bewiesenen Satz 148 ist die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
in bezug auf den Körper
völlig bestimmt, und nach Satz 39 kann man aus dieser Relativdiskriminante sogleich auch die Diskriminante des Kummerschen Körpers
finden.
§ 127.
Das Symbol
.
Für die weiteren Entwicklungen ist es nötig, das in § 113 eingeführte Symbol
in folgender Weise zu verallgemeinern, so daß es auch in den Fällen eine Bedeutung hat, wo
in
aufgeht, und wo
ist.
Es sei
ein beliebiges Primideal in
und
eine beliebige ganze Zahl in
, welche nicht
-te Potenz einer ganzen Zahl in
ist. Wenn dann die