Potenz eines Primideals oder zerlegbar in
voneinander verschiedene Primideale oder selbst Primideal, je nachdem
oder
oder gleich einer von
verschiedenen
-ten Einheitswurzel ausfällt.
Beweis. Der erste Teil dieses Satzes bezieht sich auf die in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
aufgehenden Primideale; dieselben sind nach Satz 93 ambig. Hieraus oder aus dem Beweise des Satzes 148 ergibt sich für diese Primideale die Richtigkeit der Behauptung.
Wenn
ein nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehendes Primideal ist, so möge
eine durch
nicht teilbare ganze Zahl von der Art sein, daß der Quotient
gleich der
-ten Potenz einer Zahl in
ist. Der Körper
wird dann auch durch
und
festgelegt.
Wir untersuchen zunächst den Fall, daß
ist. Wenn dann
ausfällt, so ist nach Satz 139 die Zahl
ein
-ter Potenzrest nach
. Wir bestimmen, was offenbar möglich ist, eine ganze Zahl
in
derart, daß
, und ,
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wird; alsdann bilden wir die relativ konjugierte Ideale
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und erhalten leicht
.
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Wegen
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ist
von
, und folglich sind alle
Primfaktoren
,
, ...,
des Ideals
untereinander verschieden. Das Primideal
in
gehört also zu der zweiten der drei im Beweise zu Satz 93 aufgezählten Arten von Primidealen des Unterkörpers: es zerfällt in
in
voneinander verschiedene Primideale. Umgekehrt, wenn ein Primideal
des Körpers
, wo jetzt
auch
sein kann, in
voneinander verschiedene Primideale
,
, ...,
des Körpers
zerfällt, so wird, wenn
die durch
teilbare rationale Primzahl und
die Norm von
ist,
,
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und mithin ist die Norm von
, im Körper
genommen,
, ebenfalls gleich
. Die Gleichheit der Normen
und
läßt, wie in § 57, die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers
einer ganzen Zahl