Fünfter Teil.
Der Kummersche Zahlkörper.
28. Die Zerlegung der Zahlen des Kreiskörpers im Kummerschen Körper.
§ 125. Die Definition des Kummerschen Körpers.
Es bezeichne
eine ungerade rationale Primzahl und
den durch
bestimmten Kreiskörper. Ist dann
eine solche ganze Zahl in
, welche nicht zugleich die
-te Potenz einer Zahl in
wird, so erweist sich die Gleichung
-ten Grades
|
|
als irreduzibel im Rationalitätsbereich
. Bedeutet
eine irgendwie in bestimmter Weise ausgewählte Wurzel dieser Gleichung, so sind
|
|
deren
übrige Wurzeln. Den durch
und
bestimmten Körper
nenne ich einen Kummerschen Körper. Ein solcher Kummerscher Körper
ist vom Grade
; er enthält den Kreiskörper
als Unterkörper und ist in bezug auf
ein relativ Abelscher Körper vom Relativgrade
. Durch die Operation der Vertauschung von
mit
in einer Zahl oder in einem Ideal dieses Kummerschen Körpers geht man zu der relativ konjugierten Zahl bezüglich dem relativ konjugierten Ideal über. Dieser Übergang werde durch Vorsetzen des Substitutionszeichens
angedeutet.
Man beweist leicht die Tatsachen:
Satz 147. Der durch
und
bestimmte Kummersche Körper ist im Bereiche der rationalen Zahlen dann und nur dann ein Galoisscher Körper, wenn unter den symbolischen Potenzen
eine die
-te Potenz einer Zahl in
wird. Dabei ist
, worin
eine
Primitivzahl nach
bedeutet.
Der Kummersche Körper
ist insbesondere dann und nur dann ein Abelscher Körper, wenn
die
-te Potenz einer Zahl in
wird.
Wenn der Kummersche Körper
ein Galoisscher oder insbesondere ein Abelscher Körper ist, so entsteht dieser Körper, wie man auf Grund der in § 38 entwickelten Begriffe ersieht, durch Zusammensetzung aus dem Kreiskörper
und einem gewissen Körper
-ten Grades.
§ 126. Die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers.
Unsere erste Aufgabe ist die Ermittlung der Relativdiskriminante von
in bezug auf
. Wir beweisen zunächst die folgende Tatsache:
Hilfssatz 23. Wenn ein Primideal
des Kreiskörpers
gleich der
-ten Potenz eines Primideals
des Kummerschen Körpers
wird und
eine ganze durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl in
ist, so enthalten die Relativdiskriminante der Zahl
und die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
in bezug auf
genau die gleiche Potenz von
als Faktor.
Beweis. Jede ganze Zahl des Kummerschen Körpers
ist offenbar in der Gestalt
|
(68)
|
darstellbar, so daß
,
,
, …,
,
ganze Zahlen in
sind. Ist dabei
durch
teilbar, so folgt, daß auch der Zähler des rechter Hand stehenden Bruches kongruent
nach
sein muß. Wegen
nach
geht hieraus
nach
und, da
in
liegt, auch
nach
hervor. Aus der letzten Kongruenz ergibt sich
, ,
|
|
und da
,
,
, …,
nach
ist, so folgt
nach und
daher auch nach
, also ist auch
, ( ).
|
|
Wegen
,
, …,
nach
folgt
nach
und daher auch nach
. Fahren wir so fort, so erkennen wir, daß notwendig alle Koeffizienten
,
,
, …,
durch
teilbar sein müssen. Ist jetzt
eine ganze Zahl in
, welche durch
teilbar, aber nicht durch
teilbar ist, so werden die Zahlen
,
, …,
sämtlich durch
teilbar. Wir setzen
, , …,
|
|
und erhalten dann
,
|
(69)
|
wo die im Nenner stehende Zahl
jetzt einen Idealfaktor
weniger enthält als
. Wenden wir die eben auf (68) angewandte Schlußweise nunmehr wiederum auf (69) an usf., so gelangen wir schließlich zu dem Resultat, daß jede ganze Zahl
des Körpers
in der Gestalt
|
(70)
|
darstellbar ist derart, daß
,
, …,
,
sämtlich ganze Zahlen in
sind, und daß außerdem
zu
prim ausfällt. Wir denken uns nun die
Zahlen einer Basis des Kummerschen Körpers
gemäß (70) ausgedrückt und bilden aus diesen Zahlen und den zu ihnen relativ konjugierten Zahlen die
-reihige Matrix; es wird dann ersichtlich, daß die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
nach Multiplikation mit gewissen zu
primen ganzen Zahlen
des Körpers
durch die Relativdiskriminante der Zahl
teilbar werden muß, und hiermit ist der Hilfssatz 23 bewiesen.
Satz 148. Es werde
und
gesetzt. Geht ein von
verschiedenes Primideal
des Kreiskörpers
in der Zahl
genau zur
-ten Potenz auf, so enthält, wenn der Exponent
zu
prim ist, die Relativdiskriminante des durch
und
bestimmten Kummerschen Körpers in bezug auf
genau die Potenz
von
als Faktor. Ist dagegen der Exponent
ein Vielfaches von
, so fällt diese Relativdiskriminante prim zu
aus.
Was das Primideal
betrifft, so können wir zunächst den Umstand ausschließen, daß die Zahl
durch
teilbar ist und dabei
genau in einer solchen Potenz enthält, deren Exponent ein Vielfaches von
ist; denn alsdann könnte die Zahl
sofort durch eine zu
prime Zahl
ersetzt werden, so daß
derselbe Körper wie
ist. Unter Ausschluß des genannten Umstandes haben wir die zwei möglichen Fälle, daß
genau eine Potenz von
enthält, deren Exponent zu
prim ist, oder daß
nicht durch
teilbar ist. Im ersteren Falle ist die Relativdiskriminante von
in bezug auf
genau durch die Potenz
von
teilbar. Im zweiten Falle sei
der höchste Exponent
, für den es eine Zahl
in
gibt, so daß
nach
ausfällt. Jene Relativdiskriminante ist dann im Falle
zu
prim; sie ist dagegen im Falle
genau durch die Potenz
von
teilbar.
Beweis. Gehen wir zunächst auf den ersten Teil des Satzes 148 ein. Es sei
eine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
, und weiter sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
.
Ist der Exponent
der in
enthaltenen Potenz von
kein Vielfaches von
, so können wir zwei ganze rationale positive Zahlen
und
bestimmen, so daß
ist. Dann ist
durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
, und es erweist sich, wenn
gesetzt wird,
, und wenn wir den gemeinsamen Idealteiler von
und
im Körper
mit
bezeichnen,
|
, .
|
Das Ideal
ist also ein ambiges Primideal des Kummerschen Körpers
in bezug auf den Unterkörper
; nach Satz 93 tritt dasselbe daher in der Relativdiskriminante von
in bezug auf
als Faktor auf. Da ferner die Zahl
durch
, aber nicht durch
teilbar ist, und da die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
den Wert
hat, so ist nach Hilfssatz 23 das Ideal
auch in der Relativdiskriminante des Körpers
genau zur
-ten Potenz enthalten.
Ist dagegen der Exponent
der in
enthaltenen Potenz von
ein Vielfaches von
, so ist
eine nicht durch
teilbare ganze Zahl in
; da die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
den Wert
hat, so ist sie zu
prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
.
Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors
. Im Falle, daß derselbe in
zu einem solchen Exponenten
erhoben aufgeht, der kein Vielfaches von
ist, verfahren wir in entsprechender Weise, wie im ersten Teil dieses Beweises bei Behandlung des Primideales
verfahren wurde, indem wir an die Stelle von
eine Zahl
bringen, die durch
, aber nicht durch
teilbar ist. Da die Relativdiskriminante der Zahl
den Wert
hat, so ist, nach der Beschaffenheit von
, dem Hilfssatze 23 zufolge die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
genau durch
teilbar.
An zweiter Stelle haben wir den Fall zu untersuchen, daß
nicht durch
teilbar ist. Der für diesen Fall in Satz 148 bezeichnete Exponent
sei zunächst
; es gebe also eine ganze Zahl
in
derart, daß
nach
ist; dabei wird dann
eine ganze Zahl in
, und folglich besitzt die Gleichung
-ten Grades in
.
|
|
lauter ganze Koeffizienten. Da
, wo
gesetzt ist, eine Wurzel dieser Gleichung ist, so erweist sich die Zahl
des Körpers
als ganze Zahl. Die Relativdiskriminante dieser Zahl
ist gleich
, wo
eine Einheit bedeutet, und folglich ist auch die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
zu
prim.
Zweitens sei
, so daß also
nicht einer
-ten Potenz nach
kongruent gesetzt werden kann; wir setzen
nach
, wo
eine ganze Zahl in
, ferner
der im Satze erklärte Exponent ist und
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl bedeutet. Wir betrachten nun das Ideal
.
|
|
Die Zahl
![{\displaystyle {\frac {\alpha -{\mathsf {M}}}{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6c8bb4774162968fbd664acb0bf7b98e0c2ecf0)
ist sicher keine ganze Zahl, da ihre Relativnorm in bezug auf
![{\displaystyle k(\zeta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80aafec6afae97c01bf3a3aed249853b6adb2e9e)
, d. h.
![{\displaystyle {\frac {\alpha ^{l}-\mu }{\lambda ^{l}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fb70ac5f8a6e1062dd6ab2619da339f39e3fdd0)
wegen
![{\displaystyle m<l}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3115457d801c3cec2a796849bea423bff3b581c)
eine gebrochene Zahl ist, also ist die Zahl
![{\displaystyle \alpha -{\mathsf {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169a386fd6e8fa2f9e10c9e6a8be103721d9d030)
nicht durch
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
teilbar; mithin ist das Ideal
![{\displaystyle {\mathfrak {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34aa92fbdb716183c034a2cfc30dafbaa51cfcd6)
von
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
verschieden. Andererseits ist
![{\displaystyle {\mathfrak {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34aa92fbdb716183c034a2cfc30dafbaa51cfcd6)
auch nicht
![{\displaystyle =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282a76fe69ce05e31352dfd19b7700eb784fb3f8)
, da die Relativnorm der Zahl
![{\displaystyle \alpha -{\mathsf {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169a386fd6e8fa2f9e10c9e6a8be103721d9d030)
wegen
,
|
(71)
|
durch
teilbar ist. Da sich
erweist, so ist
ein ambiges Ideal, und da dasselbe ein Faktor von
sein muß, so gehört unter den gegenwärtigen Umständen
zur ersten von den drei in § 57 beim Beweise des Satzes 93 unterschiedenen Arten von Primidealen des Unterkörpers, d. h. wir haben
, wo
ein Primideal und offenbar ersten Grades im Körper
bedeutet. Aus der Kongruenz (71) ergibt sich dann
.
Nunmehr bestimmen wir zwei ganze rationale positive Zahlen
und
, so daß
wird, und setzen
.
|
|
Wegen
folgt
,
|
|
und wir schließen aus diesem Ausdrucke, daß
genau durch die
-te Potenz von
teilbar ist. Da von jeder Differenz aus irgend zwei zu
relativ konjugierten Zahlen das gleiche gilt, so enthält die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
genau die
-te Potenz des Ideals
. Hieraus folgt, da
nur durch die erste Potenz von
teilbar ist, nach Hilfssatz 23, daß auch die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
genau durch die angegebene Potenz von
teilbar sein muß.
Durch den eben bewiesenen Satz 148 ist die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
in bezug auf den Körper
völlig bestimmt, und nach Satz 39 kann man aus dieser Relativdiskriminante sogleich auch die Diskriminante des Kummerschen Körpers
finden.
§ 127.
Das Symbol
.
Für die weiteren Entwicklungen ist es nötig, das in § 113 eingeführte Symbol
in folgender Weise zu verallgemeinern, so daß es auch in den Fällen eine Bedeutung hat, wo
in
aufgeht, und wo
ist.
Es sei
ein beliebiges Primideal in
und
eine beliebige ganze Zahl in
, welche nicht
-te Potenz einer ganzen Zahl in
ist. Wenn dann die Relativdiskriminante des durch
und
bestimmten Kummerschen Körpers durch
teilbar ist, so habe das Symbol
den Wert
.
Ist dagegen die Relativdiskriminante dieses Körpers
nicht durch
teilbar, so kann man nach Satz 148 stets eine Zahl
in
finden derart, daß
eine ganze, nicht mehr durch
teilbare Zahl in
wird. Ist
selbst zu
prim, so erfüllt bereits
diese Bedingung. Wir definieren dann, wenn
ist, das fragliche Symbol durch die Formel
.
|
|
Wenn aber
ist, so kann, da die Relativdiskriminante von
prim zu
sein soll, nach dem Satze 148 die Zahl
überdies so gewählt werden, daß
nach
ausfällt. Ist dies geschehen, so gilt eine Kongruenz von der Gestalt
, ,
|
|
wo
eine bestimmte Zahl aus der Reihe
,
,
, …,
bedeutet. Ich definiere dann das Symbol
durch die Gleichung
.
|
|
Ist
die
-te Potenz einer ganzen Zahl in
und
ein beliebiges Primideal in
, so werde stets
genommen.
Auf diese Weise ist der Wert des Symbols
für jede ganze Zahl
und für jedes Primideal
in
eindeutig festgelegt, und zwar wird dieser Wert entweder gleich
oder gleich einer bestimmten
-ten Einheitswurzel.
Ist endlich
ein beliebiges Ideal des Körpers
und hat man
, wo
,
, …,
Primideale in
sind, so möge, wenn
eine beliebige ganze Zahl in
ist, das Symbol
durch die folgende Gleichung definiert werden:
.
|
|
Sind
,
beliebige Ideale in
, so gilt dann offenbar die Gleichung:
.
|
|
§ 128. Die Primideale des Kummerschen Körpers.
Es sei
eine ganze Zahl in
, aber
keine Zahl dieses Körpers. Die Aufgabe, die Primideale des Kreiskörpers
in Primideale des Kummerschen Körpers
zu zerlegen, wird durch folgenden Satz gelöst:
Satz 149. Ein beliebiges Primideal
in
ist in dem durch
und
bestimmten Kummerschen Körper
entweder gleich der
-ten Potenz eines Primideals oder zerlegbar in
voneinander verschiedene Primideale oder selbst Primideal, je nachdem
oder
oder gleich einer von
verschiedenen
-ten Einheitswurzel ausfällt.
Beweis. Der erste Teil dieses Satzes bezieht sich auf die in der Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
aufgehenden Primideale; dieselben sind nach Satz 93 ambig. Hieraus oder aus dem Beweise des Satzes 148 ergibt sich für diese Primideale die Richtigkeit der Behauptung.
Wenn
ein nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehendes Primideal ist, so möge
eine durch
nicht teilbare ganze Zahl von der Art sein, daß der Quotient
gleich der
-ten Potenz einer Zahl in
ist. Der Körper
wird dann auch durch
und
festgelegt.
Wir untersuchen zunächst den Fall, daß
ist. Wenn dann
ausfällt, so ist nach Satz 139 die Zahl
ein
-ter Potenzrest nach
. Wir bestimmen, was offenbar möglich ist, eine ganze Zahl
in
derart, daß
, und ,
|
|
wird; alsdann bilden wir die relativ konjugierte Ideale
|
|
und erhalten leicht
.
|
|
Wegen
|
|
ist
von
, und folglich sind alle
Primfaktoren
,
, ...,
des Ideals
untereinander verschieden. Das Primideal
in
gehört also zu der zweiten der drei im Beweise zu Satz 93 aufgezählten Arten von Primidealen des Unterkörpers: es zerfällt in
in
voneinander verschiedene Primideale. Umgekehrt, wenn ein Primideal
des Körpers
, wo jetzt
auch
sein kann, in
voneinander verschiedene Primideale
,
, ...,
des Körpers
zerfällt, so wird, wenn
die durch
teilbare rationale Primzahl und
die Norm von
ist,
,
|
|
und mithin ist die Norm von
, im Körper
genommen,
, ebenfalls gleich
. Die Gleichheit der Normen
und
läßt, wie in § 57, die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers
einer ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent gesetzt werden kann; setzen wir insbesondere
nach
, wo
in
liegen soll, so folgt
nach
, und da
eine Zahl in
ist, so muß
auch nach
sein, d. h. es gilt
. Damit ist zugleich für ein von
verschiedenes Primideal
der letzte Teil des Satzes 149 vollständig bewiesen.
Was endlich das Primideal
anbetrifft, so gilt, falls die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
durch
nicht teilbar ist, für die Zahl
dem Satze 148 gemäß eine Kongruenz von der Gestalt
, ,
|
|
wo
eine ganze rationale Zahl bedeutet. Soll nun
, d. h.
durch
teilbar sein, so folgt daraus eine Kongruenz von der Gestalt
, ,
|
|
wo
wiederum eine ganze rationale Zahl bedeutet. Ist hierin
nicht durch
teilbar, so setzen wir
; ist dagegen
durch
teilbar, so setzen wir
, dann folgt
, .
|
|
Demnach genügt die Zahl
stets einer Kongruenz
, ,
|
|
wo nun
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl bedeutet, und hieraus folgt, wenn
und
|
|
gesetzt wird, für
die Zerlegung
.
|
|
Wegen
|
|
ist
von
verschieden, und daher sind auch alle
Primideale
,
, …,
untereinander verschieden.
Umgekehrt, wenn
eine Zerlegung dieser Art im Kummerschen Körper
gestattet, so stimmen nach einer oben gemachten und, wie dort erwähnt, auch für
zutreffenden Bemerkung die Normen von
in
und von
in
überein, und es muß daher jede ganze Zahl des Körpers
einer ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent sein. Da
alsdann nach Satz 93 gewiß nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
enthalten ist, so können wir nach Satz 148
nach
setzen, und demgemäß ist
eine ganze Zahl. Da
ein Primideal ersten Grades in
wird, so können wir diese ganze Zahl kongruent
nach
setzen, so daß
eine ganze rationale Zahl bedeutet; dann folgt, wenn
als Bezeichnung der Relativnorm in bezug auf
dient, die Kongruenz
|
|
d. h.
|
|
es ist mithin
. Diese Tatsachen beweisen auch für das Primideal
den letzten Teil des Satzes 149.
Durch den Satz 149 haben wir ein einfaches Mittel erlangt, um die im Beweise des Satzes 93 aufgezählten drei Arten von Primidealen eines Körpers in Hinsicht auf einen relativ-zyklischen Oberkörper von einem Primzahlrelativgrade für den vorliegenden Fall der Körper
und
zu unterscheiden.