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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/269

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Da ferner die Zahl durch , aber nicht durch teilbar ist, und da die Relativdiskriminante der Zahl in bezug auf den Wert hat, so ist nach Hilfssatz 23 das Ideal auch in der Relativdiskriminante des Körpers genau zur -ten Potenz enthalten.

Ist dagegen der Exponent der in enthaltenen Potenz von ein Vielfaches von , so ist eine nicht durch teilbare ganze Zahl in ; da die Relativdiskriminante der Zahl in bezug auf den Wert hat, so ist sie zu prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf .

Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors . Im Falle, daß derselbe in zu einem solchen Exponenten erhoben aufgeht, der kein Vielfaches von ist, verfahren wir in entsprechender Weise, wie im ersten Teil dieses Beweises bei Behandlung des Primideales verfahren wurde, indem wir an die Stelle von eine Zahl bringen, die durch , aber nicht durch teilbar ist. Da die Relativdiskriminante der Zahl den Wert hat, so ist, nach der Beschaffenheit von , dem Hilfssatze 23 zufolge die Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf genau durch teilbar.

An zweiter Stelle haben wir den Fall zu untersuchen, daß nicht durch teilbar ist. Der für diesen Fall in Satz 148 bezeichnete Exponent sei zunächst ; es gebe also eine ganze Zahl in derart, daß nach ist; dabei wird dann eine ganze Zahl in , und folglich besitzt die Gleichung -ten Grades in

.

lauter ganze Koeffizienten. Da , wo gesetzt ist, eine Wurzel dieser Gleichung ist, so erweist sich die Zahl des Körpers als ganze Zahl. Die Relativdiskriminante dieser Zahl ist gleich , wo eine Einheit bedeutet, und folglich ist auch die Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf zu prim.

Zweitens sei , so daß also nicht einer -ten Potenz nach kongruent gesetzt werden kann; wir setzen nach , wo eine ganze Zahl in , ferner der im Satze erklärte Exponent ist und eine ganze rationale, nicht durch teilbare Zahl bedeutet. Wir betrachten nun das Ideal

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