Da ferner die Zahl
durch
, aber nicht durch
teilbar ist, und da die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
den Wert
hat, so ist nach Hilfssatz 23 das Ideal
auch in der Relativdiskriminante des Körpers
genau zur
-ten Potenz enthalten.
Ist dagegen der Exponent
der in
enthaltenen Potenz von
ein Vielfaches von
, so ist
eine nicht durch
teilbare ganze Zahl in
; da die Relativdiskriminante der Zahl
in bezug auf
den Wert
hat, so ist sie zu
prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
.
Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors
. Im Falle, daß derselbe in
zu einem solchen Exponenten
erhoben aufgeht, der kein Vielfaches von
ist, verfahren wir in entsprechender Weise, wie im ersten Teil dieses Beweises bei Behandlung des Primideales
verfahren wurde, indem wir an die Stelle von
eine Zahl
bringen, die durch
, aber nicht durch
teilbar ist. Da die Relativdiskriminante der Zahl
den Wert
hat, so ist, nach der Beschaffenheit von
, dem Hilfssatze 23 zufolge die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
genau durch
teilbar.
An zweiter Stelle haben wir den Fall zu untersuchen, daß
nicht durch
teilbar ist. Der für diesen Fall in Satz 148 bezeichnete Exponent
sei zunächst
; es gebe also eine ganze Zahl
in
derart, daß
nach
ist; dabei wird dann
eine ganze Zahl in
, und folglich besitzt die Gleichung
-ten Grades in
.
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lauter ganze Koeffizienten. Da
, wo
gesetzt ist, eine Wurzel dieser Gleichung ist, so erweist sich die Zahl
des Körpers
als ganze Zahl. Die Relativdiskriminante dieser Zahl
ist gleich
, wo
eine Einheit bedeutet, und folglich ist auch die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf
zu
prim.
Zweitens sei
, so daß also
nicht einer
-ten Potenz nach
kongruent gesetzt werden kann; wir setzen
nach
, wo
eine ganze Zahl in
, ferner
der im Satze erklärte Exponent ist und
eine ganze rationale, nicht durch
teilbare Zahl bedeutet. Wir betrachten nun das Ideal
.
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