sind, und daß außerdem
zu
prim ausfällt. Wir denken uns nun die
Zahlen einer Basis des Kummerschen Körpers
gemäß (70) ausgedrückt und bilden aus diesen Zahlen und den zu ihnen relativ konjugierten Zahlen die
-reihige Matrix; es wird dann ersichtlich, daß die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
nach Multiplikation mit gewissen zu
primen ganzen Zahlen
des Körpers
durch die Relativdiskriminante der Zahl
teilbar werden muß, und hiermit ist der Hilfssatz 23 bewiesen.
Satz 148. Es werde
und
gesetzt. Geht ein von
verschiedenes Primideal
des Kreiskörpers
in der Zahl
genau zur
-ten Potenz auf, so enthält, wenn der Exponent
zu
prim ist, die Relativdiskriminante des durch
und
bestimmten Kummerschen Körpers in bezug auf
genau die Potenz
von
als Faktor. Ist dagegen der Exponent
ein Vielfaches von
, so fällt diese Relativdiskriminante prim zu
aus.
Was das Primideal
betrifft, so können wir zunächst den Umstand ausschließen, daß die Zahl
durch
teilbar ist und dabei
genau in einer solchen Potenz enthält, deren Exponent ein Vielfaches von
ist; denn alsdann könnte die Zahl
sofort durch eine zu
prime Zahl
ersetzt werden, so daß
derselbe Körper wie
ist. Unter Ausschluß des genannten Umstandes haben wir die zwei möglichen Fälle, daß
genau eine Potenz von
enthält, deren Exponent zu
prim ist, oder daß
nicht durch
teilbar ist. Im ersteren Falle ist die Relativdiskriminante von
in bezug auf
genau durch die Potenz
von
teilbar. Im zweiten Falle sei
der höchste Exponent
, für den es eine Zahl
in
gibt, so daß
nach
ausfällt. Jene Relativdiskriminante ist dann im Falle
zu
prim; sie ist dagegen im Falle
genau durch die Potenz
von
teilbar.
Beweis. Gehen wir zunächst auf den ersten Teil des Satzes 148 ein. Es sei
eine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
, und weiter sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
.
Ist der Exponent
der in
enthaltenen Potenz von
kein Vielfaches von
, so können wir zwei ganze rationale positive Zahlen
und
bestimmen, so daß
ist. Dann ist
durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
, und es erweist sich, wenn
gesetzt wird,
, und wenn wir den gemeinsamen Idealteiler von
und
im Körper
mit
bezeichnen,
|
, .
|
Das Ideal
ist also ein ambiges Primideal des Kummerschen Körpers
in bezug auf den Unterkörper
; nach Satz 93 tritt dasselbe daher in der Relativdiskriminante von
in bezug auf
als Faktor auf.