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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/267

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§ 126. Die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers.

Unsere erste Aufgabe ist die Ermittlung der Relativdiskriminante von in bezug auf . Wir beweisen zunächst die folgende Tatsache:

Hilfssatz 23. Wenn ein Primideal des Kreiskörpers gleich der -ten Potenz eines Primideals des Kummerschen Körpers wird und eine ganze durch , aber nicht durch teilbare Zahl in ist, so enthalten die Relativdiskriminante der Zahl und die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers in bezug auf genau die gleiche Potenz von als Faktor.

Beweis. Jede ganze Zahl des Kummerschen Körpers ist offenbar in der Gestalt

(68)

darstellbar, so daß , , , …, , ganze Zahlen in sind. Ist dabei durch teilbar, so folgt, daß auch der Zähler des rechter Hand stehenden Bruches kongruent nach sein muß. Wegen nach geht hieraus nach und, da in liegt, auch nach hervor. Aus der letzten Kongruenz ergibt sich

, ,

und da , , , …, nach ist, so folgt nach und daher auch nach , also ist auch

, ().

Wegen , , …, nach folgt nach und daher auch nach . Fahren wir so fort, so erkennen wir, daß notwendig alle Koeffizienten , , , …, durch teilbar sein müssen. Ist jetzt eine ganze Zahl in , welche durch teilbar, aber nicht durch teilbar ist, so werden die Zahlen , , …, sämtlich durch teilbar. Wir setzen

, , …,

und erhalten dann

, (69)

wo die im Nenner stehende Zahl jetzt einen Idealfaktor weniger enthält als . Wenden wir die eben auf (68) angewandte Schlußweise nunmehr wiederum auf (69) an usf., so gelangen wir schließlich zu dem Resultat, daß jede ganze Zahl des Körpers in der Gestalt

(70)

darstellbar ist derart, daß , , …, , sämtlich ganze Zahlen in

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 250. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/267&oldid=- (Version vom 22.8.2016)