§ 126. Die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers.
Unsere erste Aufgabe ist die Ermittlung der Relativdiskriminante von
in bezug auf
. Wir beweisen zunächst die folgende Tatsache:
Hilfssatz 23. Wenn ein Primideal
des Kreiskörpers
gleich der
-ten Potenz eines Primideals
des Kummerschen Körpers
wird und
eine ganze durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl in
ist, so enthalten die Relativdiskriminante der Zahl
und die Relativdiskriminante des Kummerschen Körpers
in bezug auf
genau die gleiche Potenz von
als Faktor.
Beweis. Jede ganze Zahl des Kummerschen Körpers
ist offenbar in der Gestalt
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(68)
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darstellbar, so daß
,
,
, …,
,
ganze Zahlen in
sind. Ist dabei
durch
teilbar, so folgt, daß auch der Zähler des rechter Hand stehenden Bruches kongruent
nach
sein muß. Wegen
nach
geht hieraus
nach
und, da
in
liegt, auch
nach
hervor. Aus der letzten Kongruenz ergibt sich
, ,
|
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und da
,
,
, …,
nach
ist, so folgt
nach und
daher auch nach
, also ist auch
, ( ).
|
|
Wegen
,
, …,
nach
folgt
nach
und daher auch nach
. Fahren wir so fort, so erkennen wir, daß notwendig alle Koeffizienten
,
,
, …,
durch
teilbar sein müssen. Ist jetzt
eine ganze Zahl in
, welche durch
teilbar, aber nicht durch
teilbar ist, so werden die Zahlen
,
, …,
sämtlich durch
teilbar. Wir setzen
, , …,
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und erhalten dann
,
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(69)
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wo die im Nenner stehende Zahl
jetzt einen Idealfaktor
weniger enthält als
. Wenden wir die eben auf (68) angewandte Schlußweise nunmehr wiederum auf (69) an usf., so gelangen wir schließlich zu dem Resultat, daß jede ganze Zahl
des Körpers
in der Gestalt
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(70)
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darstellbar ist derart, daß
,
, …,
,
sämtlich ganze Zahlen in