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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.27

27. Anwendungen der Theorie des Kreiskörpers auf den quadratischen Körper.

§ 121. Die Erzeugung der Einheiten des reellen quadratischen Körpers aus Kreiseinheiten.

Indem wir gewisse in den vorangehenden Kapiteln abgeleitete Eigenschaften des Kreiskörpers der $m$-ten Einheitswurzeln für einen in ihm enthaltenen quadratischen Unterkörper verwerten, gelangen wir zu neuen Sätzen über den quadratischen Zahlkörper. Die Fruchtbarkeit dieser Methode wird noch erhöht, wenn wir sie mit denjenigen Wahrheiten in Verbindung bringen, welche im dritten Teil dieses Berichtes durch unmittelbare Betrachtung des quadratischen Körpers gewonnen werden sind.

Nach dem allgemeinen Satze 144 ist insbesondere eine jede Einheit eines reellen quadratischen Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ eine Wurzel mit rationalem ganzzahligem Exponenten aus einem Produkte von Kreiseinheiten; es wird eine spezielle Einheit des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ einfach durch den folgenden Ausdruck

${\frac {\prod \limits _{(b)}\left(\mathrm {e} ^{\frac {bi\pi }{d}}-\mathrm {e} ^{-{\frac {bi\pi }{d}}}\right)}{\prod \limits _{(a)}\left(\mathrm {e} ^{\frac {ai\pi }{d}}-\mathrm {e} ^{-{\frac {ai\pi }{d}}}\right)}}$

erhalten, wo $d$ die Diskriminante des Körpers $k\left({\sqrt {m}}\right)$ bedeutet, und wo die Produkte $\textstyle \prod \limits _{(a)}$, $\textstyle \prod \limits _{(b)}$ über alle diejenigen Zahlen $a$ oder $b$ der Reihe $1$, $2$, …, $|d|$ zu erstrecken sind, welche der Bedingung ${\frac {d}{a}}=+1$ bez. ${\frac {d}{b}}=-1$ genügen [Dirichlet(7^[1])]. Vgl. § 86.

§ 122. Das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste.

Es sei $l$ eine ungerade rationale Primzahl, $r$ eine Primitivzahl nach $l$; ferner $\textstyle \zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$. Zu der aus den ${\tfrac {l-1}{2}}$ Substitutionen $1$, $s^{2}$, $s^{4}$, …, $s^{l-3}$ gebildeten Untergruppe der Gruppe des Kreiskörpers $k(\zeta )$ gehört ein gewisser quadratischer Unterkörper $k^{\ast }$ des Kreiskörpers $k(\zeta )$. Da die Diskriminante des Körpers $k(\zeta )$ nach Satz 118 gleich $\textstyle (-1)^{\frac {l-1}{2}}l^{l-2}$ ist, so enthält nach Satz 39 die Diskriminante von $k^{\ast }$ keine andere rationale Primzahl als $l$ und besitzt daher wegen Satz 95 den Wert $\textstyle d=(-1)^{\frac {l-1}{2}}l$. Es sei $p$ entweder die Primzahl $2$ oder eine beliebige von $l$ verschiedene ungerade rationale Primzahl. Indem wir die Zerlegung von $p$ einerseits in dem Kreiskörper $k(\zeta )$ der $l$-ten Einheitswurzeln, andererseits direkt nach Satz 97 in dem quadratischen Unterkörper $k^{\ast }$ ausführen und hernach die erhaltenen Resultate miteinander vergleichen, gelangen wir zu einem neuen

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1. Sur la manière de résoudre l’équation $t^{2}-pu^{2}=1$ au moyen des fonctions circulaires. Werke 1, 343.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 243. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/260&oldid=- (Version vom 8.12.2022)