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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/261

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Beweise des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste [Kronecker (15[1])]. Wir verfahren dabei, wie folgt:

Ist der kleinste positive Exponent, für welchen nach ausfällt, und wird gesetzt, so zerlegt sich nach Satz 119 die Primzahl im Körper in Primideale , , …, , und es ist der gemeinsame Zerlegungskörper dieser Primideale nach Satz 129 vom Grade . Die rationale Primzahl ist alsdann offenbar in dem quadratischen Körper zerlegbar oder nicht zerlegbar, je nachdem der Körper in als Unterkörper enthalten ist oder nicht. Bedenken wir, daß der Körper nur den einen quadratischen Unterkörper enthält, und ferner, daß ein Abelscher Körper dann und nur dann überhaupt einen quadratischen Unterkörper besitzt, wenn sein Grad gerade ist, so folgt, daß dann und nur dann in enthalten ist, wenn die Zahl gerade ausfällt. Andererseits ist nach Satz 97 die Primzahl in zerlegbar oder nicht zerlegbar, je nachdem oder ist. Ist nun gerade, so folgt nach , d. h. ; im anderen Falle wird nach , d. h. . Es ist mithin in jedem Falle

. (57)

Wir nehmen zunächst ungerade an; aus (57) folgt

. (58)

und weiter, wenn wir und miteinander vertauschen,

.

Die letztere Formel ergibt, wenn wir nehmen,

. (59)

Die Verbindung der Gleichung (59) mit (58) liefert

. (60)

  1. [359] Über die Potenzreste gewisser komplexer Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1880.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kronecker, Leopold: Über die Potenzreste gewisser complexer Zahlen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1880, S. 404–407 Berlin-Brandenburgische Akademie
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 244. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/261&oldid=- (Version vom 22.8.2016)