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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.26

gesetzt ist. Sehen wir in dieser unendlichen Reihe (56) von denjenigen Gliedern ab, die den in $m$ aufgehenden Primzahlen $2$, $l_{1}$, $l_{2}$, … entsprechen, und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so ist im übrigen diese Reihe gleich $\Phi (m)\Sigma {\frac {1}{p^{s}}}$, wo $p$ nur alle diejenigen rationalen Primzahlen durchläuft, für welche die Werte $P$, $P^{*}$, $P_{1}$, $P_{2}$, … sämtlich gleich $1$ werden, d. s. eben die Primzahlen, welche der im Satze 143 verlangten Kongruenzbedingung genügen.

Da die unendliche Summe (26) (s. S. 183) für $s=1$ über alle Grenzen wächst, dagegen die hier betrachteten Reihen (55) für $s=1$ sämtlich endlich bleiben, so folgt, daß auch der Wert der unendlichen Reihe (56) für $s=1$ über alle Grenzen wächst, d. h. die Primzahlen mit der verlangten Kongruenzeigenschaft sind notwendig in unendlicher Anzahl vorhanden.

§ 120. Die Darstellung sämtlicher Einheiten des Kreiskörpers durch die Kreiseinheiten.

Der zweite der beiden in § 117 aufgestellten Ausdrücke kann zum Nachweise des folgenden Satzes dienen:

Satz 144. Jede Einheit eines Abelschen Körpers ist eine Wurzel mit rationalem ganzzahligem Exponenten aus einem Produkt von Kreiseinheiten.

Beweis. Passen wir zunächst den Fall ins Auge, daß $m=1$ eine ungerade Primzahl ist. Nach der Formel im Satze 142 enthält der zweite Faktor der Klassenanzahl im Zähler eine gewisse Determinante $\Delta$; jene Determinante $\Delta$ ist daher notwendig von $0$ verschieden, und hieraus folgt mit Rücksicht auf die in § 20 und § 21 angestellten Betrachtungen, daß die in Satz 142 angegebenen $\textstyle {\frac {l-3}{2}}$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, …, $\varepsilon _{\frac {l-3}{2}}$ des Kreiskörpers $\textstyle k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ ein System von unabhängigen Einheiten bilden. Dieser Umstand lehrt die Richtigkeit des Satzes 144 für den besonderen Fall des Kreiskörpers $\textstyle k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ sowie auch für alle in diesem Körper enthaltenen Unterkörper (Kummer (11^[1])].

Eine ähnliche Umformung des zweiten Faktors der Klassenanzahl, wie sie in Satz 142 gegeben wird, ist auch im Falle des Kreiskörpers der $m$-ten Einheitswurzeln möglich, wenn $m$ eine beliebige zusammengesetzte Zahl ist; der betreffende Ausdruck ermöglicht dann auf Grund des Satzes 131 den allgemeinen Beweis des Satzes 144.

Ein reiches Zahlenmaterial, welches zu tieferen Untersuchungen in der Theorie der Kreiskörper von hohem Nutzen ist, bieten die von Reuschle berechneten Tafeln komplexer Primzahlen [Reuschle (1^[2]), Kummer (24^[3]), Kronecker (12^[4])].

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1. Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).
2. Tafeln komplexer Primzahlen, welche aus Wurzeln der Einheit gebildet sind. Berlin 1875.
3. Über die einfachste Darstellung der aus Einheitswurzeln gebildeten komplexen Zahlen, welche durch Multiplikation mit Einheiten bewirkt werden kann. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1870.^{[WS 1]}
4. Bemerkungen über Reuschles Tafeln komplexer Primzahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1875.^{[WS 2]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die einfachste Darstellung der aus Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen, welche durch Multiplikation mit Einheiten bewirkt werden kann, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1870, S. 409–420 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Kronecker, Leopold: Bemerkungen über das Werk von C. G. Reuschle: Tafeln complexer Primzahlen, welche aus Wurzeln der Einheit gebildet sind, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1875, S. 236–238 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 242. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/259&oldid=- (Version vom 2.7.2019)