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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.26

Beweis. Auch hier betrachten wir nur den kompliziertesten Fall, wo $m$ durch $8$ teilbar ist, und setzen, wie in § 117, $m=2^{h^{*}}l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$. Jedes der dort betrachteten unendlichen Produkte

$\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}}}$

mit Ausschluß desjenigen, welches der Wertverbindung $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, … entspricht, konvergiert für $s=1$ nach einem bestimmten Grenzwerte; aus der ersten in § 117 gegebenen Darstellung der Klassenanzahl $H$ folgt, daß diese Grenzwerte sämtlich von $0$ verschieden ausfallen; wir können daher die Logarithmen dieser Produkte verwenden, und es führen dann entsprechende einfache Betrachtungen, wie sie in § 80 angestellt worden sind, zu dem Resultate, daß für jedes betrachtete Wertsystem $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, …, immer von dem einen Systeme $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, … abgesehen, die unendliche Summe

$\sum _{(p)}\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]{\frac {1}{p^{s}}}$,

(55)

wo $p$ alle rationalen Primzahlen durchläuft, in der Grenze für $s=1$ stets endlich bleibt.

Da $n$ zu $m$ prim vorausgesetzt ist, so sind die Symbole

$\left[{\frac {n}{2^{2}}}\right]$, $\left[{\frac {n}{2^{h}}}\right]$, $\left[{\frac {n}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]$, $\left[{\frac {n}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]$, …

sämtlich von $0$ verschieden. Wir multiplizieren den Ausdruck (55) mit

${\frac {1}{\left[{\frac {n}{2^{2}}}\right]^{u}\left[{\frac {n}{2^{h^{*}}}}\right]^{u^{*}}\left[{\frac {n}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]^{u_{1}}\left[{\frac {n}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]^{u_{2}}\cdots }}$,

lassen dann $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … alle in (53) angegebenen Werte durchlaufen, doch so, daß das eine System $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, … ausgeschlossen wird, und addieren sämtliche so entstehenden Ausdrücke zu der unendlichen Summe (26) (siehe § 80, S. 183). Auf diese Weise geht der Ausdruck

$\left.{\begin{aligned}\textstyle {\sum \limits _{(p)}}(1+P)&\left(1+P^{*}+P^{*2}+\cdots +P^{*2^{h^{*}-2}-1}\right)\cdot \\&\left(1+P_{1}+P_{1}^{2}+\cdots +P_{1}^{l_{1}^{h_{1}-1}(l_{1}-1)-1}\right)\cdot \\&\left(1+P_{2}+P_{2}^{2}+\cdots +P_{2}^{l_{2}^{h_{2}-1}(l_{2}-1)-1}\right)\cdots {\frac {1}{p^{s}}},\end{aligned}}\right\}$

(56)

hervor, wo zur Abkürzung

$P={\frac {\left[{\frac {p}{2^{2}}}\right]}{\left[{\frac {n}{2^{2}}}\right]}}$, $P^{*}={\frac {\left[{\frac {p}{2^{h^{*}}}}\right]}{\left[{\frac {n}{2^{h^{*}}}}\right]}}$, $P_{1}={\frac {\left[{\frac {p}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]}{\left[{\frac {n}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]}}$, $P_{2}={\frac {\left[{\frac {p}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]}{\left[{\frac {n}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]}}$, …

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 241. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/258&oldid=- (Version vom 2.7.2019)