Beweis. Auch hier betrachten wir nur den kompliziertesten Fall, wo
durch
teilbar ist, und setzen, wie in § 117,
. Jedes der dort betrachteten unendlichen Produkte
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mit Ausschluß desjenigen, welches der Wertverbindung
,
;
,
, … entspricht, konvergiert für
nach einem bestimmten Grenzwerte; aus der ersten in § 117 gegebenen Darstellung der Klassenanzahl
folgt, daß diese Grenzwerte sämtlich von
verschieden ausfallen; wir können daher die Logarithmen dieser Produkte verwenden, und es führen dann entsprechende einfache Betrachtungen, wie sie in § 80 angestellt worden sind, zu dem Resultate, daß für jedes betrachtete Wertsystem
,
;
,
, …, immer von dem einen Systeme
,
;
,
, … abgesehen, die unendliche Summe
,
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(55)
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wo
alle rationalen Primzahlen durchläuft, in der Grenze für
stets endlich bleibt.
Da
zu
prim vorausgesetzt ist, so sind die Symbole
, , , , …
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sämtlich von
verschieden. Wir multiplizieren den Ausdruck (55) mit
,
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lassen dann
,
;
,
, … alle in (53) angegebenen Werte durchlaufen, doch so, daß das eine System
,
;
,
, … ausgeschlossen wird, und addieren sämtliche so entstehenden Ausdrücke zu der unendlichen Summe (26) (siehe § 80, S. 183). Auf diese Weise geht der Ausdruck
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(56)
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hervor, wo zur Abkürzung
, , , , …
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