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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/258

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Beweis. Auch hier betrachten wir nur den kompliziertesten Fall, wo durch teilbar ist, und setzen, wie in § 117, . Jedes der dort betrachteten unendlichen Produkte

mit Ausschluß desjenigen, welches der Wertverbindung , ; , , … entspricht, konvergiert für nach einem bestimmten Grenzwerte; aus der ersten in § 117 gegebenen Darstellung der Klassenanzahl folgt, daß diese Grenzwerte sämtlich von verschieden ausfallen; wir können daher die Logarithmen dieser Produkte verwenden, und es führen dann entsprechende einfache Betrachtungen, wie sie in § 80 angestellt worden sind, zu dem Resultate, daß für jedes betrachtete Wertsystem , ; , , …, immer von dem einen Systeme , ; , , … abgesehen, die unendliche Summe

, (55)

wo alle rationalen Primzahlen durchläuft, in der Grenze für stets endlich bleibt.

Da zu prim vorausgesetzt ist, so sind die Symbole

, , , , …

sämtlich von verschieden. Wir multiplizieren den Ausdruck (55) mit

,

lassen dann , ; , , … alle in (53) angegebenen Werte durchlaufen, doch so, daß das eine System , ; , , … ausgeschlossen wird, und addieren sämtliche so entstehenden Ausdrücke zu der unendlichen Summe (26) (siehe § 80, S. 183). Auf diese Weise geht der Ausdruck

(56)

hervor, wo zur Abkürzung

, , , , …