David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.26

← 7.25 Das Reziprozitätsgesetz für $l$-te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der $l$-ten Einheitswurzeln.

David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 7.26 Die Bestimmung der Anzahl der Idealklassen im Kreiskörper der $m$-ten Einheitswurzeln.

7.27 Anwendungen der Theorie des Kreiskörpers auf den quadratischen Körper. →

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26. Die Bestimmung der Anzahl der Idealklassen im Kreiskörper der $m$-ten Einheitswurzeln.

§ 116. Das Symbol $\left[{\frac {a}{L}}\right].$

Um die in § 26 dargelegte transzendente Methode zur Bestimmung der Klassenanzahl eines Körpers auf den Fall des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}\right)$, wo $m$ irgendeine ganze rationale Zahl bedeutet, anzuwenden, definieren wir zunächst die folgenden Symbole:

Es sei $l^{h}$ eine Potenz einer ungeraden Primzahl $l$ mit positivem Exponenten und $r$ eine Primitivzahl nach $l^{h}$. Ist dann $a$ eine nicht durch $l$ teilbare ganze rationale Zahl und $a'$ dazu ein solcher Exponent, daß die Kongruenz

$r^{a'}\equiv a,\qquad \left(l^{h}\right)$

gilt, so definieren wir

$\left[{\frac {a}{l^{h}}}\right]=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi a'}{l^{h-1}(l-1)}}$.

Ferner setzen wir

$\left[{\frac {a}{l^{h}}}\right]=0$,

sobald $a$ durch $l$ teilbar ist. Sind $a$, $b$ zwei beliebige ganze rationale Zahlen, so wird dann offenbar

$\left[{\frac {ab}{l^{h}}}\right]=\left[{\frac {a}{l^{h}}}\right]\left[{\frac {b}{l^{h}}}\right]$.

Des weiteren setzen wir, wenn $a$ eine ungerade Zahl bedeutet, zunächst

$\left[{\frac {a}{2^{2}}}\right]=(-1)^{\frac {a-1}{2}}$;

ferner für ein $h>2$, wenn $a'$ eine solche ganze rationale Zahl zu $a$ ist, daß die Kongruenz

$5^{a'}\equiv \pm a,\qquad \left(2^{h}\right)$

gilt,

$\left[{\frac {a}{2^{h}}}\right]=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi a'}{2^{h-2}}}$.

Bedeutet endlich $a$ eine gerade Zahl, so setzen wir

$\left[{\frac {a}{2^{2}}}\right]=0$, $\left[{\frac {a}{2^{h}}}\right]=0$,

$(h>2).$

Sind $a$, $b$ irgend zwei ganze rationale Zahlen, so gelten dann, wie man sieht, die Gleichungen

$\left[{\frac {ab}{2^{h}}}\right]=\left[{\frac {a}{2^{h}}}\right]\left[{\frac {b}{2^{h}}}\right]$,

$(h>1).$

Durch diese Festsetzungen ist das Symbol $\textstyle \left[{\frac {a}{L}}\right]$ vollständig für den Fall definiert, daß $a$ eine beliebige ganze rationale Zahl und $L$ eine höhere Potenz von $2$ als die erste oder eine Potenz einer ungeraden Primzahl bedeutet, wobei im letzteren Falle irgendeine Primitivzahl $r$ nach $L$ von vornherein zugrunde zu legen ist.

Sind $l_{1}^{h_{1}}$, $l_{2}^{h_{2}}$, … irgendwelche fest gegebene Potenzen verschiedener ungerader Primzahlen und $2^{h^{*}}$ eine Potenz von $2$, die größer als $2^{2}$ ist, so setzen wir zur Abkürzung

$\left[\overbrace {u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{a}\right]=\left[{\frac {a}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]^{u_{1}}\left[{\frac {a}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]^{u_{2}}\cdots$,

ferner

$\left[\overbrace {u;\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{a}\right]=\left[{\frac {a}{2^{2}}}\right]^{u}\left[{\frac {a}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]^{u_{1}}\left[{\frac {a}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]^{u_{2}}\cdots$,

ferner

$\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{a}\right]=\left[{\frac {a}{2^{2}}}\right]^{u}\left[{\frac {a}{2^{h^{*}}}}\right]^{u^{*}}\left[{\frac {a}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]^{u_{1}}\left[{\frac {a}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]^{u_{2}}\cdots$;

darin soll $a$ eine beliebige ganze rationale Zahl, und die Exponenten $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … sollen ganze rationale, nicht negative Zahlen vorstellen. Endlich setzen wir fest, daß das Zeichen $\textstyle \left[{\frac {a}{L}}\right]^{0}$ stets den Wert $1$ bedeuten soll, auch wenn $\textstyle \left[{\frac {a}{L}}\right]=0$ ist.

§ 117. Die Ausdrücke für die Klassenanzahl im Kreiskörper der $m$–ten Einheitswurzeln.

Es gilt der folgende Satz, dessen Beweis in § 118 gegeben werden wird:

Satz 141. Es sei $m$ eine ganze rationale positive Zahl von der Gestalt $m=l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$, oder $=2^{2}l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$, oder $=2^{h^{*}}l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$

($h^{*}>2$, $h_{1}>0$, $h_{2}>0$, …),

wo $l_{1}$, $l_{2}$, … voneinander verschiedene ungerade Primzahlen bedeuten. Es seien ferner $r_{1}$, $r_{2}$, … Primitivzahlen bez. nach $l_{1}^{h_{1}}$, $l_{2}^{h_{2}}$, … und mit ihrer Hilfe die betreffenden Symbole definiert. Dann kann die Klassenanzahl $H$ des Kreiskörpers $k$ der $m$-ten Einheitswurzeln auf folgende zwei Weisen ausgedrückt werden:

Der erste Ausdruck für $H$ lautet:

$H={\frac {1}{\varkappa }}\prod _{(u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}{\underset {s=1}{L}}\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left[\overbrace {u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}}}$

bez. entsteht aus dieser Formel, indem man $u_{1}$, $u_{2}$, … durch $u$; $u_{1}$, $u_{2}$, …, bez. $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … ersetzt. Hierin ist dann das äußere Produkt $\Pi$ über die Zahlen

$\left.{\begin{aligned}u_{1}&=0,\,1,\,\ldots ,\,l_{1}^{h_{1}-1}(l_{1}-1)-1,\\u_{2}&=0,\,1,\,\ldots ,\,l_{2}^{h_{2}-1}(l_{2}-1)-1,\\&\;\,\vdots \\{\text{ferner über}}\qquad \qquad &\\u&=0,\,1\\{\text{und über}}\qquad \qquad &\\u^{*}&=0,\,1,\,\ldots ,\,2^{h^{*}-2}-1\end{aligned}}\right\}$

(53)

zu erstrecken mit Ausschluß der einen Wertverbindung $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, bez. $u=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, bez. $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …; es besteht daher nur aus einer endlichen Anzahl von Faktoren. Jedes einzelne innere Produkt $\textstyle \prod \limits _{(p)}$ soll über alle rationalen Primzahlen $p$ erstreckt werden und ist mithin ein unendliches Produkt. Die Größe $\varkappa$ ist die dem Körper $k$ zugehörende Zahl des Satzes 56 (s. S. 115 vor § 26).

Der zweite Ausdruck für $H$ ist ein Produkt aus zwei in Bruchform erscheinenden Faktoren und lautet:

$H={\frac {\displaystyle \prod _{(u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}\sum _{(n)}\left[\overbrace {u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{n}\right]n}{(2m)^{{\tfrac {1}{2}}\Phi (m)-1}}}\cdot {\frac {\displaystyle \prod _{(u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}\sum _{(n)}\left[\overbrace {u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{n}\right]\log {\mathsf {A}}_{n}}{R}}2^{{\tfrac {1}{2}}\Phi (m)-1}$

bez. entsteht aus dieser Formel, indem man zum ersten Bruch rechts den Faktor ${\tfrac {1}{2}}$ hinzufügt und dann $u_{1}$, $u_{2}$, … durch $u$; $u_{1}$, $u_{2}$, … bez. $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … ersetzt. Hierin soll das Produkt $\textstyle \prod$ im Zähler des ersten Bruches über alle diejenigen in (53) angegebenen Werte erstreckt werden, für welche im ersten Falle $u_{1}+u_{2}\cdots$ bez. in den zwei anderen Fällen $u+u_{1}+u_{2}+\cdots$ eine ungerade Zahl ist, während das Produkt $\textstyle \prod$ im Zähler des zweiten Bruches über alle diejenigen in (53) angegebenen Werte zu erstrecken ist, für welche im ersten Falle $u_{1}+u_{2}+\cdots$ bez. in den zwei anderen Fällen $u+u_{1}+u_{2}+\cdots$ eine gerade Zahl ist, mit Ausschluß immer der einen Wertverbindung $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …, bez. $u=0;$ $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, … bez. $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, …. Weiter ist jede einzelne Summe $\textstyle \sum \limits _{(n)}$ in dem ersten Bruche über alle ganzen rationalen positiven Zahlen $n=1$, $2$, …, $m-1$, jede einzelne Summe $\textstyle \sum \limits _{(n)}$ in dem zweiten Bruche dagegen nur über alle diejenigen unter diesen Zahlen zu erstrecken, welche $<{\frac {m}{2}}$ sind. Endlich bedeutet $\log {\mathsf {A}}_{n}$ den reellen Wert des Logarithmus der Kreiskörperzahl

${\mathsf {A}}_{n}={\sqrt {\left(1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi n}{m}}\right)\left(1-\mathrm {e} ^{\frac {-2i\pi n}{m}}\right)}}$

und $R$ den Regulator des Kreiskörpers [Kummer (22^[1], 23^[2])].

Die zwei Brüche im zweiten Ausdrucke für $H$ hat Kummer den ersten und den zweiten Faktor der Klassenanzahl genannt. Das Doppelte des ersten Faktors einerseits und andererseits der zweite Faktor der Klassenanzahl sind stets für sich ganze rationale Zahlen [Kronecker (9^[3])].

Auf Grund des zweiten Ausdrucks für $H$ hat Weber bewiesen, daß die Klassenanzahl des Kreiskörpers der $2^{h^{*}}$-ten Einheitswurzeln stets eine ungerade Zahl ist [Weber (1^[4], 4^[5])].

Der zweite Ausdruck für $H$ gestattet noch weitere Umformungen. Im Falle, daß $m=l$ eine ungerade Primzahl ist, wird durch eine kleine Rechnung die Richtigkeit des folgenden Satzes erkannt:

Satz 142. Ist $l$ eine ungerade Primzahl, so stellt sich die Klassenanzahl $h$ des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln, wie folgt, dar:

$h={\frac {\displaystyle \prod _{(u)}\sum _{(n)}n\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi n'u}{l-1}}}{(2l)^{\frac {l-3}{2}}}}\cdot {\frac {\Delta }{R}}2^{\frac {l-3}{2}}$.

Hierin ist das Produkt $\textstyle \prod \limits _{(u)}$ über die ungeraden Zahlen $u=1,\,3,\,5,\,\ldots ,\,l-2$ und jede einzelne Summe $\textstyle \sum \limits _{(n)}$ über die Zahlen $n=l,\,2,\,3,\,\ldots ,\,l-1$ zu erstrecken; ferner ist eine Primitivzahl $r$ nach $l$ zugrunde gelegt und man hat unter $n'$ eine solche zu $n$ gehörige ganze rationale Zahl zu verstehen, für welche $r^{n'}\equiv n$ nach $l$ wird. $\Delta$ bedeutet die Determinante

$(-1)^{\frac {(l-3)(l-5)}{8}}{\begin{vmatrix}\log \varepsilon _{1},&\log \varepsilon _{2},&\ldots ,&\log \varepsilon _{\frac {l-3}{2}}\\\log \varepsilon _{2},&\log \varepsilon _{3},&\ldots ,&\log \varepsilon _{\frac {l-1}{2}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\log \varepsilon _{\frac {l-3}{2}},&\log \varepsilon _{\frac {l-1}{2}},&\ldots ,&\log \varepsilon _{l-4}\end{vmatrix}}$

und dabei ist allgemein $\log \varepsilon _{g}$ der reelle Wert des Logarithmus der Einheit

$\varepsilon _{g}={\sqrt {{\frac {1-\zeta ^{r^{g}}}{1-\zeta ^{r^{g-1}}}}{\frac {1-\zeta ^{-r^{g}}}{1-\zeta ^{-r^{g-1}}}}}}$,

wo $\zeta$ für $\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ steht [Kummer (7^[6], 11^[7]), Dedekind (1^[8])].

Die zwei Brüche hier in dem Ausdruck für $h$ entstehen aus den zwei Brüchen in der oben gegebenen, auf den allgemeinen Fall bezüglichen Formel und sind also der erste und der zweite Faktor der Klassenanzahl in dem früheren Sinne; im gegenwärtigen Falle sind beide Faktoren der Klassenanzahl für sich ganze rationale Zahlen. Der zweite Faktor stellt die Klassenanzahl des in $k(\zeta )$ enthaltenen reellen Unterkörpers vom ${\frac {l-1}{2}}$-ten Grade dar. Kummer hat über diese zwei Faktoren noch weitere Sätze aufgestellt, welche ihre Teilbarkeit durch $2$ betreffen [Kummer (25^[9])]. Der Versuch Kroneckers, diese Sätze rein arithmetisch zu beweisen, weist einen Irrtum auf, und die von Kronecker gegebene Verallgemeinerung ist nicht richtig [Kronecker (11^[10])]. Außerdem hat Kummer noch nach einer anderen Richtung hin Untersuchungen über die Bedeutung und die Eigenschaften dieser zwei Faktoren angestellt [Kummer (13^[11])]. Man vergleiche ferner Kap. 36. Endlich hat Kummer den Satz behauptet, daß die Klassenanzahl eines jeden in $k(\zeta )$ enthaltenen Unterkörpers in der Klassenanzahl $h$ des Körpers $k(\zeta )$ aufgeht. Der von ihm versuchte Beweis hierfür ist jedoch nicht stichhaltig [Kummer (7^[6])].

§ 118. Die Ableitung der aufgestellten Ausdrücke für die Klassenanzahl des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}\right)$.

Um den Satz 141 zu beweisen, fassen wir sogleich den kompliziertesten Fall ins Auge, in welchem $m$ durch $8$ teilbar ist, und stellen den folgenden Hilfssatz auf:

Hilfssatz 22. Ist $p$ eine beliebige rationale Primzahl und $m$ eine durch $8$ teilbare Zahl, so gilt unter Anwendung der in Satz 141 erklärten Bezeichnungen für reelle Werte $s>1$ die Formel:

$\prod _{({\mathfrak {P}})}\{1-n({\mathfrak {P}})^{-s}\}=\prod _{(u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}\left\{1-\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}$,

wo das Produkt linker Hand über alle verschiedenen Primideale ${\mathfrak {P}}$ des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}\right)$ zu erstrecken ist, welche in der Primzahl $p$ enthalten sind, und wo das Produkt rechter Hand über alle in (53) angegebenen Wertsysteme $u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots$ (das System $u=0,\,u^{*}=0;\,u_{1}=0,\,u_{2}=0,\,\ldots$ einbegriffen) genommen werden soll.

Beweis. Es sei zunächst $p$ eine in $m$ nicht aufgehende Primzahl; es sei $l$ eine der ungeraden Primzahlen $l_{1}$, $l_{2}$, … und $l^{h}$ die Potenz, zu der sie in $m$ aufgeht, ferner $r$ eine Primitivzahl nach $l^{h}$ und $p\equiv r^{p'}$ nach $l^{h}$. Bedeutet $e$ den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen $p'$ und $l^{h-1}(l-1)$ und wird $l^{h-1}(l-1)=ef$ gesetzt, so ist das Symbol $\textstyle \left[{\frac {p}{l^{h}}}\right]$ offenbar genau eine $f$-te und nicht eine niedere Einheitswurzel.

Wählen wir zunächst $l=l_{1}$ und setzen dementsprechend $h=h_{1}$, $e=e_{1}$, $l^{h_{1}-1}(l_{1}-1)=e_{1}f_{1}$, so folgt aus dem eben angegebenen Umstande die Formel:

$\prod _{(u_{1})}\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{1},u_{2},\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}=\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{2},u_{3},\ldots } ^{p}\right]^{f_{1}}p^{-sf_{1}}\right\}^{e_{1}}$,

wo das Produkt über die in (53) bezeichneten Werte von $u_{1}$ zu erstrecken ist. Wählen wir ferner $l=l_{2}$ und setzen dementsprechend $h=h_{2}$, $e=e_{2}$, $l_{2}^{h_{2}-1}(l_{2}-1)=e_{2}f_{2}$, so folgt, wenn $f_{12}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $f_{1}$, $f_{2}$ bezeichnet:

${\begin{aligned}\prod _{(u_{1},u_{2})}&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{1},u_{2},\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}\\=&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{3},u_{4},\ldots } ^{p}\right]^{f_{12}}p^{-sf_{12}}\right\}^{\frac {e_{1}e_{2}f_{1}f_{2}}{f_{12}}},\end{aligned}}$

wo das Produkt sich über die in (53) bezeichneten Werte von $u_{1}$, $u_{2}$ erstreckt, und ebenso wird weiterhin, wenn $f_{12\ldots }$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $f_{1}$, $f_{2}$, … bezeichnet:

${\begin{aligned}\prod _{(u_{1},u_{2},\ldots )}&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{1},u_{2},\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}\\=&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*}} ^{p}\right]^{f_{12\ldots }}p^{-sf_{12\ldots }}\right\}^{\frac {e_{1}e_{2}\ldots f_{1}f_{2}\ldots }{f_{12\ldots }}},\end{aligned}}$

wo das Produkt über alle in (53) bezeichneten Werte $u_{1}$, $u_{2}$, … zu erstrecken ist.

Es sei ferner $p\equiv \pm 5^{p'}$ nach $2^{h^{*}}$, es bedeute $e^{*}$ den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen $p'$ und $2^{h^{*}-2}$, und es werde $2^{h^{*}-2}=e^{*}f^{*}$ gesetzt; dann ist offenbar $\left[{\frac {p}{2^{h^{*}}}}\right]$ genau eine $f^{*}$-te und nicht eine niedere Einheitswurzel. Wir erhalten infolgedessen, wenn $f_{12\ldots }^{*}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $f^{*}$, $f_{1}$, $f_{2}$ … bezeichnet:

${\begin{aligned}\prod _{(u^{*};u_{1},u_{2},\ldots )}&\left\{1-\left[\overbrace {u,u^{*};u_{1},u_{2},\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}\\=&\left\{1-\left[{\frac {p}{2^{2}}}\right]^{uf_{12\ldots }^{*}}p^{-sf_{12\ldots }^{*}}\right\}^{\frac {e^{*}e_{1}e_{2}\ldots f^{*}f_{1}f_{2}\ldots }{f_{12\ldots }^{*}}},\end{aligned}}$

wo nun das Produkt auch über die in (53) bezeichneten Werte von $u^{*}$ zu nehmen ist.

Endlich sei ${\bar {e}}$ der größte gemeinsame Teiler von ${\frac {p-1}{2}}$ und $2$, und man setze $2={\bar {e}}{\bar {f}}$; aus der letzten Formel folgt dann, wenn $F$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${\bar {f}}$, $f^{*}$, $f_{1}$, $f_{2}$, … bezeichnet und zur Abkürzung

$E={\frac {{\bar {e}}e^{*}e_{1}e_{2}\ldots {\bar {f}}f^{*}f_{1}f_{2}\ldots }{F}}$

gesetzt wird,

$\prod _{(u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots )}\left\{1-\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}\right\}=\{1-p^{-sF}\}^{E}$,

(54)

wo das Produkt sich über alle in (53) bezeichneten Wertverbindungen $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … erstreckt. Man sieht sofort, daß $F$ der kleinste positive Exponent mit der Kongruenzeigenschaft $p^{F}\equiv 1$ nach $m$ ist. Da ferner $FE=\Phi (m)$ ist, so folgt aus (54) mit Rücksicht auf den Satz 125 die im Hilfssatz 22 aufgestellte Formel. Mit Hilfe der zweiten Aussage in Satz 125 erkennt man dann leicht die Gültigkeit dieser Formel auch in dem Falle, daß $p$ eine in $m$ enthaltene Primzahl ist.

Die Richtigkeit des ersten in Satz 141 aufgestellten Ausdruckes für $H$ erkennen wir nun unmittelbar auf Grund des Satzes 56, wenn wir die zweite in § 27 gegebene Darstellung von $\zeta (s)$ und den eben bewiesenen Hilfssatz 22 anwenden.

Zur Ableitung des zweiten Ausdruckes für $H$ formen wir zunächst das im ersten Ausdrucke hinter dem Limes-Zeichen stehende Produkt in eine unendliche Summe, wie folgt, um:

$\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}}}=\sum _{(n=1,\,2,\,3,\,\ldots )}\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{n}\right]{\frac {1}{n^{s}}}$

Die weitere Behandlung der rechts stehenden Summe geschieht dann am einfachsten, indem wir in derselben

${\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }e^{-nt}t^{s-1}dt$

einsetzen und dann in entsprechender Weise verfahren wie in § 86.

§ 119. Das Vorhandensein von unendlich vielen rationalen Primzahlen, welche nach einer gegebenen Zahl einen vorgeschriebenen, zu ihr primen Rest lassen.

Jeder der zwei in § 117 aufgestellten und soeben bewiesenen Ausdrücke für die Klassenanzahl $H$ des Kreiskörpers der $m$-ten Einheitswurzeln gestattet eine wichtige Folgerung. Der erstere Ausdruck nämlich kann zum, Nachweis der folgenden Tatsache dienen:

Satz 143. Bedeuten $m$ und $n$ zwei zueinander prime ganze rationale Zahlen so gibt es stets unendlich viele rationale Primzahlen $p$ mit der Kongruenzeigenschaft $p\equiv n$ nach $m$. [Dirichlet (5^[12], 6^[13]), Dedekind (2^[14])]. Beweis. Auch hier betrachten wir nur den kompliziertesten Fall, wo $m$ durch $8$ teilbar ist, und setzen, wie in § 117, $m=2^{h^{*}}l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$. Jedes der dort betrachteten unendlichen Produkte

$\prod _{(p)}{\frac {1}{1-\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]p^{-s}}}$

mit Ausschluß desjenigen, welches der Wertverbindung $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, … entspricht, konvergiert für $s=1$ nach einem bestimmten Grenzwerte; aus der ersten in § 117 gegebenen Darstellung der Klassenanzahl $H$ folgt, daß diese Grenzwerte sämtlich von $0$ verschieden ausfallen; wir können daher die Logarithmen dieser Produkte verwenden, und es führen dann entsprechende einfache Betrachtungen, wie sie in § 80 angestellt worden sind, zu dem Resultate, daß für jedes betrachtete Wertsystem $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, …, immer von dem einen Systeme $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, … abgesehen, die unendliche Summe

$\sum _{(p)}\left[\overbrace {u,\,u^{*};\,u_{1},\,u_{2},\,\ldots } ^{p}\right]{\frac {1}{p^{s}}}$,

(55)

wo $p$ alle rationalen Primzahlen durchläuft, in der Grenze für $s=1$ stets endlich bleibt.

Da $n$ zu $m$ prim vorausgesetzt ist, so sind die Symbole

$\left[{\frac {n}{2^{2}}}\right]$, $\left[{\frac {n}{2^{h}}}\right]$, $\left[{\frac {n}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]$, $\left[{\frac {n}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]$, …

sämtlich von $0$ verschieden. Wir multiplizieren den Ausdruck (55) mit

${\frac {1}{\left[{\frac {n}{2^{2}}}\right]^{u}\left[{\frac {n}{2^{h^{*}}}}\right]^{u^{*}}\left[{\frac {n}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]^{u_{1}}\left[{\frac {n}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]^{u_{2}}\cdots }}$,

lassen dann $u$, $u^{*}$; $u_{1}$, $u_{2}$, … alle in (53) angegebenen Werte durchlaufen, doch so, daß das eine System $u=0$, $u^{*}=0$; $u_{1}=0$, $u_{2}=0$, … ausgeschlossen wird, und addieren sämtliche so entstehenden Ausdrücke zu der unendlichen Summe (26) (siehe § 80, S. 183). Auf diese Weise geht der Ausdruck

$\left.{\begin{aligned}\textstyle {\sum \limits _{(p)}}(1+P)&\left(1+P^{*}+P^{*2}+\cdots +P^{*2^{h^{*}-2}-1}\right)\cdot \\&\left(1+P_{1}+P_{1}^{2}+\cdots +P_{1}^{l_{1}^{h_{1}-1}(l_{1}-1)-1}\right)\cdot \\&\left(1+P_{2}+P_{2}^{2}+\cdots +P_{2}^{l_{2}^{h_{2}-1}(l_{2}-1)-1}\right)\cdots {\frac {1}{p^{s}}},\end{aligned}}\right\}$

(56)

hervor, wo zur Abkürzung

$P={\frac {\left[{\frac {p}{2^{2}}}\right]}{\left[{\frac {n}{2^{2}}}\right]}}$, $P^{*}={\frac {\left[{\frac {p}{2^{h^{*}}}}\right]}{\left[{\frac {n}{2^{h^{*}}}}\right]}}$, $P_{1}={\frac {\left[{\frac {p}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]}{\left[{\frac {n}{l_{1}^{h_{1}}}}\right]}}$, $P_{2}={\frac {\left[{\frac {p}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]}{\left[{\frac {n}{l_{2}^{h_{2}}}}\right]}}$, …

gesetzt ist. Sehen wir in dieser unendlichen Reihe (56) von denjenigen Gliedern ab, die den in $m$ aufgehenden Primzahlen $2$, $l_{1}$, $l_{2}$, … entsprechen, und die nur in endlicher Anzahl vorhanden sind, so ist im übrigen diese Reihe gleich $\Phi (m)\Sigma {\frac {1}{p^{s}}}$, wo $p$ nur alle diejenigen rationalen Primzahlen durchläuft, für welche die Werte $P$, $P^{*}$, $P_{1}$, $P_{2}$, … sämtlich gleich $1$ werden, d. s. eben die Primzahlen, welche der im Satze 143 verlangten Kongruenzbedingung genügen.

Da die unendliche Summe (26) (s. S. 183) für $s=1$ über alle Grenzen wächst, dagegen die hier betrachteten Reihen (55) für $s=1$ sämtlich endlich bleiben, so folgt, daß auch der Wert der unendlichen Reihe (56) für $s=1$ über alle Grenzen wächst, d. h. die Primzahlen mit der verlangten Kongruenzeigenschaft sind notwendig in unendlicher Anzahl vorhanden.

§ 120. Die Darstellung sämtlicher Einheiten des Kreiskörpers durch die Kreiseinheiten.

Der zweite der beiden in § 117 aufgestellten Ausdrücke kann zum Nachweise des folgenden Satzes dienen:

Satz 144. Jede Einheit eines Abelschen Körpers ist eine Wurzel mit rationalem ganzzahligem Exponenten aus einem Produkt von Kreiseinheiten.

Beweis. Passen wir zunächst den Fall ins Auge, daß $m=1$ eine ungerade Primzahl ist. Nach der Formel im Satze 142 enthält der zweite Faktor der Klassenanzahl im Zähler eine gewisse Determinante $\Delta$; jene Determinante $\Delta$ ist daher notwendig von $0$ verschieden, und hieraus folgt mit Rücksicht auf die in § 20 und § 21 angestellten Betrachtungen, daß die in Satz 142 angegebenen $\textstyle {\frac {l-3}{2}}$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, …, $\varepsilon _{\frac {l-3}{2}}$ des Kreiskörpers $\textstyle k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ ein System von unabhängigen Einheiten bilden. Dieser Umstand lehrt die Richtigkeit des Satzes 144 für den besonderen Fall des Kreiskörpers $\textstyle k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}\right)$ sowie auch für alle in diesem Körper enthaltenen Unterkörper (Kummer (11^[7])].

Eine ähnliche Umformung des zweiten Faktors der Klassenanzahl, wie sie in Satz 142 gegeben wird, ist auch im Falle des Kreiskörpers der $m$-ten Einheitswurzeln möglich, wenn $m$ eine beliebige zusammengesetzte Zahl ist; der betreffende Ausdruck ermöglicht dann auf Grund des Satzes 131 den allgemeinen Beweis des Satzes 144.

Ein reiches Zahlenmaterial, welches zu tieferen Untersuchungen in der Theorie der Kreiskörper von hohem Nutzen ist, bieten die von Reuschle berechneten Tafeln komplexer Primzahlen [Reuschle (1^[15]), Kummer (24^[16]), Kronecker (12^[17])].

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1. Über die Klassenanzahl der aus $n$-ten Einheitswurzeln gebildeten komplexen Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1861.^{[WS 1]}
2. Über die Klassenanzahl der aus zusammengesetzten Einheitswurzeln gebildeten idealen komplexen Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1863.^{[WS 2]}
3. Über die Klassenanzahl der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen. Werke 1, 123 (1863).
4. Theorie der Abelschen Zahlkörper. Acta Math. 8 u. 9 (1886), (1887).^{[WS 3]}
5. Lehrbuch der Algebra. 2. Braunschweig 1896.^{[WS 4]}
6. Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Klassen für die aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen und die idealen Faktoren derselben. J. Math. 40 (1850).^{[WS 5]}
7. Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).
8. Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.^{[WS 6]}
9. Über eine Eigenschaft der Einheiten der aus den Wurzeln der Gleichung $\alpha ^{\lambda }=1$ gebildeten komplexen Zahlen und über den zweiten Faktor der Klassenzahl. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1870.^{[WS 7]}
10. Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenanzahl idealer komplexer Zahlen. Werke 1, 271 (1870).
11. Über die Irregularität der Determinanten. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1853.^{[WS 8]}
12. Beweis eines Satzes über die arithmetische Progression. Werke 1, 307 (1837).
13. Beweis des Satzes, daß jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Faktor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Werke 1, 313 (1837).
14. Sur la théorie des nombres entiers algébriques. Paris 1877. Abdruck aus Bull. des sciences math. et astron. s. 1 t. XI und s. 2 t. I.^{[WS 9]}
15. Tafeln komplexer Primzahlen, welche aus Wurzeln der Einheit gebildet sind. Berlin 1875.
16. Über die einfachste Darstellung der aus Einheitswurzeln gebildeten komplexen Zahlen, welche durch Multiplikation mit Einheiten bewirkt werden kann. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1870.^{[WS 10]}
17. Bemerkungen über Reuschles Tafeln komplexer Primzahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1875.^{[WS 11]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Klassenanzahl der aus $n$-ten Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1861, S. 1051–1053 Berlin-Brandenburgische Akademie
2. Kummer, Ernst Eduard: Über die Klassenanzahl der aus zusammengesetzten Einheitswurzeln gebildeten idealen complexen Zahlen, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1863, S. 21–28 Berlin-Brandenburgische Akademie
3. Weber, Heinrich: Theorie der Abel’schen Zahlkörper, in: Acta Mathematica, Band 8 (1886) S. 193–263 Internet Archive und Band 9 (1887) S. 105–130 Internet Archive
4. Weber, Heinrich: Lehrbuch der Algebra, Band 2 (1896) Internet Archive
5. Kummer, Ernst Eduard: Bestimmung der Anzahl nicht äquivalenter Classen für die aus $\lambda$-ten Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen und die idealen Factoren derselben, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 93–116 GDZ Göttingen
6. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
7. Kummer, Ernst Eduard: Über eine Eigenschaft der Einheiten der aus den Wurzeln der Gleichung $\alpha ^{\lambda }=1$ gebildeten complexen Zahlen und über den zweiten Faktor der Klassenzahl, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1870, S. 855–880 Berlin-Brandenburgische Akademie
8. Kummer, Ernst Eduard: Über die Irregularität der Determinanten, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1853, S. 194–200 Berlin-Brandenburgische Akademie
9. Dedekind, Richard: Sur la théorie des nombres entiers algébriques., in: Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques 2^e série Band 1, Folge 1 1877, S. 69-92. EuDML
10. Kummer, Ernst Eduard: Über die einfachste Darstellung der aus Einheitswurzeln gebildeten complexen Zahlen, welche durch Multiplikation mit Einheiten bewirkt werden kann, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1870, S. 409–420 Berlin-Brandenburgische Akademie
11. Kronecker, Leopold: Bemerkungen über das Werk von C. G. Reuschle: Tafeln complexer Primzahlen, welche aus Wurzeln der Einheit gebildet sind, in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1875, S. 236–238 Berlin-Brandenburgische Akademie

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