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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/250

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damit ist der Satz 140 unter den zunächst gemachten Einschränkungen, daß nur Primideale ersten Grades enthält und eine Primzahl ist, bewiesen.

Um die erstere Einschränkung zu beseitigen, nehmen wir jetzt an, es sei eine beliebige semiprimäre, zu prime ganze Zahl in , welche auch Primideale von höherem als erstem Grade enthalten kann. Wir bilden dann die Zahl

,

wo das im Exponenten stehende Produkt über sämtliche von verschiedene Teiler der Zahl zu erstrecken ist, und setzen

in solcher Weise, daß und zueinander prime Ideale bedeuten; dieselben enthalten dann, wie leicht ersichtlich, nur Primideale ersten Grades als Faktoren, und sie sind überdies nicht durch teilbar. Ist die Anzahl der Idealklassen des Körpers , so wird nach Satz 51 , wo eine ganze Zahl in bedeutet; setzen wir , so wird auch eine ganze Zahl in , welche nur Primideale ersten Grades als Primfaktoren enthält, und überdies ist offenbar ebenso wie semiprimär und zu prim. Nach dem oben Bewiesenen ist daher

. (51)

Der einfacheren Darstellung halber wollen wir nun allgemein, wenn , zwei ganze zu prime Zahlen in bedeuten,

und

schreiben, was zu keinem Widerspruche mit den bisherigen Festsetzungen führt; dann folgt wegen aus (51) offenbar die Gleichung

. (52)

Berücksichtigen wir die Gleichungen

und ,

so erkennen wir aus (52), daß

wird. Wenn wir bedenken, daß das auf beiden Seiten als Exponent stehende