damit ist der Satz 140 unter den zunächst gemachten Einschränkungen, daß
nur Primideale ersten Grades enthält und
eine Primzahl ist, bewiesen.
Um die erstere Einschränkung zu beseitigen, nehmen wir jetzt an, es sei
eine beliebige semiprimäre, zu
prime ganze Zahl in
, welche auch Primideale von höherem als erstem Grade enthalten kann. Wir bilden dann die Zahl
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,
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wo das im Exponenten stehende Produkt über sämtliche von
verschiedene Teiler
der Zahl
zu erstrecken ist, und setzen
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in solcher Weise, daß
und
zueinander prime Ideale bedeuten; dieselben enthalten dann, wie leicht ersichtlich, nur Primideale ersten Grades als Faktoren, und sie sind überdies nicht durch
teilbar. Ist
die Anzahl der Idealklassen des Körpers
, so wird nach Satz 51
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; setzen wir
, so wird auch
eine ganze Zahl in
, welche nur Primideale ersten Grades als Primfaktoren enthält, und überdies ist offenbar
ebenso wie
semiprimär und zu
prim. Nach dem oben Bewiesenen ist daher
.
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(51)
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Der einfacheren Darstellung halber wollen wir nun allgemein, wenn
,
zwei ganze zu
prime Zahlen in
bedeuten,
und
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schreiben, was zu keinem Widerspruche mit den bisherigen Festsetzungen führt; dann folgt wegen
aus (51) offenbar die Gleichung
.
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(52)
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Berücksichtigen wir die Gleichungen
und ,
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so erkennen wir aus (52), daß
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wird. Wenn wir bedenken, daß das auf beiden Seiten als Exponent stehende