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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 7.25

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7.24 Die Wurzelzahlen des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln. David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert
7.25 Das Reziprozitätsgesetz für -te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der -ten Einheitswurzeln.
7.26 Die Bestimmung der Anzahl der Idealklassen im Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln.
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25. Das Reziprozitätsgesetz für -te Potenzreste zwischen einer rationalen Zahl und einer Zahl des Körpers der -ten Einheitswurzeln.
§ 113. Der Potenzcharakter einer Zahl und das Symbol .

Es sei eine ungerade Primzahl, ‚ und bezeichne den durch bestimmten Kreiskörper. Ist dann eine rationale, von verschiedene Primzahl und ein in aufgehendes Primideal in , und ist der Grad von ‚ so gilt nach Satz 24 für jede nicht durch teilbare ganze Zahl des Körpers die Kongruenz

.

Da nach Satz 119 durch teilbar ist, so gestattet die linke Seite dieser Kongruenz die Zerlegung

,

wo das Produkt über die Werte zu erstrecken ist. Hieraus folgt, daß für einen und jedenfalls auch nur einen Wert die Kongruenz

erfüllt ist. Man nennt die hier auftretende Einheitswurzel den Potenzcharakter der Zahl in Bezug auf das Primideal im Körper und bezeichnet diese Einheitswurzel durch das Symbol

,

so daß die Kongruenz

(45)

gilt [Kummer (10[1])].

Sind und zwei durch nicht teilbare ganze Zahlen in , so besteht, wie hieraus leicht ersichtlich, die Gleichung

.

Wenn insbesondere die ganze Zahl nach dem Primideal der -ten Potenz einer ganzen Zahl in kongruent ist, so heißt ein -ter Potenzrest nach dem Primideal . Es gilt die Tatsache:

Satz 139. Bedeutet ein von verschiedenes Primideal und eine ganze zu prime Zahl in , so ist dann und nur dann -ter Potenzrest nach , wenn ausfällt. Beweis. Ist nach , wo wieder eine Zahl in bedeutet, so folgt nach , d. h. . Um die Umkehrung hiervon zu zeigen, bezeichnen wir mit eine Primitivzahl nach und setzen nach . Nehmen wir an, so folgt nach , d. h. ist durch teilbar, und folglich ist ein -ter Potenzrest nach , was zu beweisen war.

Für eine Primitivzahl nach ist der Potenzcharakter sicherlich von verschieden. Denn in der Reihe der Potenzen , , … ist die erste, welche nach ausfällt, und also ist nach .

Es sei ; man bestimme eine zu prime ganze rationale Zahl derart, daß nach wird; dann ist offenbar eine solche Primitivzahl nach , für welche ausfällt. Ist nun eine ganze, nicht durch teilbare Zahl in , und hat man nach , so besitzt den Potenzcharakter .

Hieraus ist leicht ersichtlich, daß das vollständige System der einander nach inkongruenten Zahlen , , , …, in Teilsysteme zerfällt, von denen jedes Zahlen vom nämlichen Potenzcharakter enthält. Insbesondere gibt es genau einander inkongruente -te Potenzreste nach .

Ist ein beliebiges zu primes Ideal und eine zu prime ganze Zahl in , und wird gesetzt, wo , , … Primideale bedeuten, so werde das Symbol durch die Gleichung

definiert.

§ 114. Ein Hilfssatz über den Potenzcharakter der -ten Potenz der Lagrangeschen Wurzelzahl.

Es ist Eisenstein gelungen, dasjenige Reziprozitätsgesetz zu entdecken und zu beweisen, welches im Körper zwischen einer rationalen Zahl und einer beliebigen Zahl dieses Körpers besteht; dabei ist wieder gesetzt, und bedeutet eine ungerade Primzahl. Dieses Reziprozitätsgesetz ist zugleich ein bisher unentbehrliches Hilfsmittel zum Beweise des allgemeineren Kummerschen Reziprozitätsgesetzes (vgl. Kap. 31). Dem Beweise des Eisensteinschen Reziprozitätsgesetzes ist der folgende Hilfssatz vorauszuschicken: Hilfssatz 21. Es sei ; ferner bedeute eine von verschiedene rationale Primzahl von der Form , eine Primitivzahl nach und das Primideal ersten Grades in :

;

es werde , die Lagrangesche Wurzelzahl

und gesetzt. Endlich bedeute eine beliebige, von und verschiedene rationale Primzahl, ein in aufgehendes Primideal des Körpers und den Grad von : dann drückt sich der Potenzcharakter der Zahl in bezug auf das Ideal durch die Formel aus

.

Beweis. Durch -maliges Erheben in die -te Potenz folgt die Kongruenz

, (). (46)

Berücksichtigen wir, daß dem Satze 119 zufolge nach ist, und setzen nach , so wird die rechte Seite der Kongruenz (46)

.

Hieraus folgt, da wegen des Satzes 138 prim zu ist, die Kongruenz

, (),

und also ist auch gewiß

, (),

d. h. es wird

. (47)

Andererseits entnimmt man aus den Kongruenzen nach und nach die Beziehungen:

, (),

d. h. es ist

; (48)

die Gleichungen (47) und (48) zusammen ergeben den Hilfssatz 21.

§ 115. Beweis des Reziprozitätsgesetzes im Körper zwischen einer rationalen und einer beliebigen Zahl.

Es bedeute das in aufgehende Primideal des Körpers . Eine ganze Zahl des Körpers heiße semiprimär, wenn sie zu prim und nach einer ganzen rationalen Zahl kongruent ist. Eine ganze rationale, nicht durch teilbare Zahl ist hiernach stets semiprimär. Eine beliebige ganze, nicht durch teilbare Zahl des Körpers kann durch Multiplikation mit einer geeigneten Potenz der Einheitswurzel stets in eine semiprimäre Zahl verwandelt werden. Ist nämlich

,  ,

wo und ganze rationale Zahlen bedeuten, so ist

,  ,

wenn aus der Kongruenz nach bestimmt wird. Die Zahl ist mithin semiprimär.

Nach dieser Vorbemerkung läßt sich nunmehr das Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz, wie folgt, aussprechen:

Satz 140. Wenn eine beliebige ganze rationale, nicht durch die ungerade Primzahl teilbare Zahl und eine beliebige semiprimäre und zu prime ganze Zahl des Körpers der -ten Einheitswurzeln ist, so gilt in diesem Körper die Reziprozitätsgleichung

.

[Eisenstein (2)[2]].

Beweis. Wir verstehen unter eine Primitivzahl nach und schreiben . Es werde zunächst angenommen, daß eine rationale Primzahl ist, und daß die Zahl nur Primideale ersten Grades enthält. Es sei ein in aufgehendes Primideal in und der Grad von , ferner sei eine in der Norm vorkommende rationale Primzahl, und es mögen und dazu die gleiche Bedeutung wie in Hilfssatz 21 haben. Ist nun eine beliebige Potenz der Substitution , und wenden wir den Hilfssatz 21 auf die Primideale und an, so ergibt sich:

.

Unterwerfen wir diese Gleichung der Substitution , so folgt:

. (49)

Die in der Norm vorkommenden, voneinander verschiedenen rationalen Primzahlen seien , , …; ferner mögen , , … bez. Primitivzahlen nach , , … bedeuten; endlich werde

, , …

gesetzt, und es gestatte die Zahl die Zerlegung

,

wo die Exponenten , , … ganzzahlige Funktionen in vom Grade mit lauter Koeffizienten, die sind, bedeuten.

Bezeichnen dann , , … die bezüglichen, zu den Primzahlen , , … und deren Primitivzahlen , , … gehörigen Lagrangeschen Wurzelzahlen, und wird , , … gesetzt, so gelten nach Satz 138 die Zerlegungen:

wo die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der -ten Potenz der Primitivzahl nach kongruent ist. Der Quotient

ist daher offenbar eine Einheit des Körpers . Wir wollen beweisen, daß diese Einheit ist. Zu dem Zwecke bilden wir den Ausdruck

Wegen der für , , , …, gültigen Gleichung

wird der Zähler des Bruches rechter Hand

.

Berücksichtigen wir, daß nach Satz 138 , , … wird, so ergibt sich . Nach Satz 48 ist folglich bis auf einen Faktor eine Potenz der Einheitswurzel . Da andererseits nach Satz 138 die Kongruenzen

, , …,

bestehen, und daher , , … sämtlich semiprimäre Zahlen sind, so ist auch eine semiprimäre Zahl; mithin wird , und es folgt demnach:

.

Diese Gleichung liefert unter Anwendung der Formel (49) die Reziprozitätsgleichung

(50)

Berücksichtigen wir, daß

, , …,

ist, da ja die Symbole Potenzen von darstellen, so folgt aus (50) die Gleichung

oder ;
damit ist der Satz 140 unter den zunächst gemachten Einschränkungen, daß nur Primideale ersten Grades enthält und eine Primzahl ist, bewiesen.

Um die erstere Einschränkung zu beseitigen, nehmen wir jetzt an, es sei eine beliebige semiprimäre, zu prime ganze Zahl in , welche auch Primideale von höherem als erstem Grade enthalten kann. Wir bilden dann die Zahl

,

wo das im Exponenten stehende Produkt über sämtliche von verschiedene Teiler der Zahl zu erstrecken ist, und setzen

in solcher Weise, daß und zueinander prime Ideale bedeuten; dieselben enthalten dann, wie leicht ersichtlich, nur Primideale ersten Grades als Faktoren, und sie sind überdies nicht durch teilbar. Ist die Anzahl der Idealklassen des Körpers , so wird nach Satz 51 , wo eine ganze Zahl in bedeutet; setzen wir , so wird auch eine ganze Zahl in , welche nur Primideale ersten Grades als Primfaktoren enthält, und überdies ist offenbar ebenso wie semiprimär und zu prim. Nach dem oben Bewiesenen ist daher

. (51)

Der einfacheren Darstellung halber wollen wir nun allgemein, wenn , zwei ganze zu prime Zahlen in bedeuten,

und

schreiben, was zu keinem Widerspruche mit den bisherigen Festsetzungen führt; dann folgt wegen aus (51) offenbar die Gleichung

. (52)

Berücksichtigen wir die Gleichungen

und ,

so erkennen wir aus (52), daß

wird. Wenn wir bedenken, daß das auf beiden Seiten als Exponent stehende Produkt nicht durch teilbar ist, so ergibt sich hieraus

.

Wird endlich auch die ganze rationale durch nicht teilbare Zahl beliebig angenommen, nur so, daß zu prim ist, und wird gesetzt, wo , rationale Primzahlen bedeuten, so folgt durch Multiplikation der Gleichungen

die Richtigkeit des Satzes 140 im allgemeinsten Falle.

  1. [359] Über allgemeine Reziprozitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.[WS 1]
  2. [357] Beweis der allgemeinsten Reziprozitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.[WS 2]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kummer, Ernst Eduard: Die allgemeinen Reziprocitätsgesetze für beliebig hohe Potenzreste, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 154–165 Berlin-Brandenburgische Akademie
  2. Eisenstein, Gotthold: Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen abhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definiert werden, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 36–42 Berlin-Brandenburgische Akademie
7.24 Die Wurzelzahlen des Kreiskörpers der -ten Einheitswurzeln. Nach oben 7.26 Die Bestimmung der Anzahl der Idealklassen im Kreiskörper der -ten Einheitswurzeln.
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