Bezeichnen dann
,
, … die bezüglichen, zu den Primzahlen
,
, … und deren Primitivzahlen
,
, … gehörigen Lagrangeschen Wurzelzahlen, und wird
,
, … gesetzt, so gelten nach Satz 138 die Zerlegungen:
|
|
wo
die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der
-ten Potenz
der Primitivzahl
nach
kongruent ist. Der Quotient
|
|
ist daher offenbar eine Einheit des Körpers
. Wir wollen beweisen, daß diese Einheit
ist. Zu dem Zwecke bilden wir den Ausdruck
|
|
Wegen der für
,
,
, …,
gültigen Gleichung
|
|
wird der Zähler des Bruches rechter Hand
|
.
|
Berücksichtigen wir, daß nach Satz 138
,
, … wird, so ergibt sich
. Nach Satz 48 ist folglich
bis auf einen Faktor
eine Potenz der Einheitswurzel
. Da andererseits nach Satz 138 die Kongruenzen
|
, , …,
|
bestehen, und daher
,
, … sämtlich semiprimäre Zahlen sind, so ist auch
eine semiprimäre Zahl; mithin wird
, und es folgt demnach:
|
.
|
Diese Gleichung liefert unter Anwendung der Formel (49) die Reziprozitätsgleichung
|
(50)
|
Berücksichtigen wir, daß
|
, , …,
|
ist, da ja die Symbole Potenzen von
darstellen, so folgt aus (50) die Gleichung
|
oder ;
|