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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/249

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Bezeichnen dann , , … die bezüglichen, zu den Primzahlen , , … und deren Primitivzahlen , , … gehörigen Lagrangeschen Wurzelzahlen, und wird , , … gesetzt, so gelten nach Satz 138 die Zerlegungen:

wo die kleinste positive ganze rationale Zahl bedeutet, welche der -ten Potenz der Primitivzahl nach kongruent ist. Der Quotient

ist daher offenbar eine Einheit des Körpers . Wir wollen beweisen, daß diese Einheit ist. Zu dem Zwecke bilden wir den Ausdruck

Wegen der für , , , …, gültigen Gleichung

wird der Zähler des Bruches rechter Hand

.

Berücksichtigen wir, daß nach Satz 138 , , … wird, so ergibt sich . Nach Satz 48 ist folglich bis auf einen Faktor eine Potenz der Einheitswurzel . Da andererseits nach Satz 138 die Kongruenzen

, , …,

bestehen, und daher , , … sämtlich semiprimäre Zahlen sind, so ist auch eine semiprimäre Zahl; mithin wird , und es folgt demnach:

.

Diese Gleichung liefert unter Anwendung der Formel (49) die Reziprozitätsgleichung

(50)

Berücksichtigen wir, daß

, , …,

ist, da ja die Symbole Potenzen von darstellen, so folgt aus (50) die Gleichung

oder ;