Zum Inhalt springen

Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/248

aus Wikisource, der freien Quellensammlung
Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

nicht durch teilbare Zahl ist hiernach stets semiprimär. Eine beliebige ganze, nicht durch teilbare Zahl des Körpers kann durch Multiplikation mit einer geeigneten Potenz der Einheitswurzel stets in eine semiprimäre Zahl verwandelt werden. Ist nämlich

,  ,

wo und ganze rationale Zahlen bedeuten, so ist

,  ,

wenn aus der Kongruenz nach bestimmt wird. Die Zahl ist mithin semiprimär.

Nach dieser Vorbemerkung läßt sich nunmehr das Eisensteinsche Reziprozitätsgesetz, wie folgt, aussprechen:

Satz 140. Wenn eine beliebige ganze rationale, nicht durch die ungerade Primzahl teilbare Zahl und eine beliebige semiprimäre und zu prime ganze Zahl des Körpers der -ten Einheitswurzeln ist, so gilt in diesem Körper die Reziprozitätsgleichung

.

[Eisenstein (2)[1]].

Beweis. Wir verstehen unter eine Primitivzahl nach und schreiben . Es werde zunächst angenommen, daß eine rationale Primzahl ist, und daß die Zahl nur Primideale ersten Grades enthält. Es sei ein in aufgehendes Primideal in und der Grad von , ferner sei eine in der Norm vorkommende rationale Primzahl, und es mögen und dazu die gleiche Bedeutung wie in Hilfssatz 21 haben. Ist nun eine beliebige Potenz der Substitution , und wenden wir den Hilfssatz 21 auf die Primideale und an, so ergibt sich:

.

Unterwerfen wir diese Gleichung der Substitution , so folgt:

. (49)

Die in der Norm vorkommenden, voneinander verschiedenen rationalen Primzahlen seien , , …; ferner mögen , , … bez. Primitivzahlen nach , , … bedeuten; endlich werde

, , …

gesetzt, und es gestatte die Zahl die Zerlegung

,

wo die Exponenten , , … ganzzahlige Funktionen in vom Grade mit lauter Koeffizienten, die sind, bedeuten.


  1. [357] Beweis der allgemeinsten Reziprozitätsgesetze zwischen reellen und komplexen Zahlen. Ber. K. Akad. Wiss. Berlin 1850.[WS 1]

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Eisenstein, Gotthold: Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen abhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definiert werden, in: Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königlich Preussischen Akademie, 1850, S. 36–42 Berlin-Brandenburgische Akademie
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 231. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/248&oldid=- (Version vom 31.7.2018)