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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 1

Andrerseits ist, wenn mit $K$ bezüglich $k$ die absolut größten Werte bezeichnet werden, welche die Funktionen

$z(z-1)(z-2)\cdots (z-n)$

bezüglich

$(z-1)(z-2)\cdots (z-n)e^{-\varkappa }$

in dem Intervalle $z=0$ bis $z=n$ annehmen:

${\bigg \vert }\int \limits _{0}^{1}{\bigg \vert }<kK^{\varrho },\quad {\bigg \vert }\int \limits _{0}^{2}{\bigg \vert }<2kK^{\varrho },\ \ldots ,\quad {\bigg \vert }\int \limits _{0}^{n}{\bigg \vert }<nkK^{\varrho }$

und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung

$\varkappa =\{|a_{1}e|+2|a_{2}e^{2}|+\cdots +n|a_{n}e^{n}|\}k$

gesetzt wird, die Ungleichung

$|P_{2}|<\varkappa K^{\varrho }.$

(2)

Nun bestimme man eine ganze positive Zahl $\varrho$, welche erstens durch die ganze Zahl $a\cdot n!$ teilbar ist und für welche zweitens $\varkappa {\frac {K^{\varrho }}{\varrho !}}<1$ wird. Es ist dann ${\frac {P_{1}}{\varrho !}}$ infolge der Kongruenz (1) eine nicht durch $\varrho +1$ teilbare und daher notwendig von $0$ verschiedene ganze Zahl, und da überdies ${\frac {P_{2}}{\varrho !}}$ infolge der Ungleichung (2) absolut genommen kleiner als $1$ wird, so ist die Gleichung

${\frac {P_{1}}{\varrho !}}+{\frac {P_{2}}{\varrho !}}=0$

unmöglich.

Man nehme an, es sei $\pi$ eine algebraische Zahl und es genüge die Zahl $\alpha _{1}=i\pi$ einer Gleichung $n$-ten Grades mit ganzzahligen Koefiizienten. Bezeichnen wir dann mit $\alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{n}$ die übrigen Wurzeln dieser Gleichung, so muß, da $1+e^{i\pi }$ den Wert $0$ hat, auch der Ausdruck

$(1+e^{\alpha _{1}})(1+e^{\alpha _{2}})\cdots (1+e^{\alpha _{n}})=1+e^{\beta _{1}}+e^{\beta _{2}}+\cdots e^{\beta _{N}}$

den Wert $0$ haben und hierin sind, wie man leicht sieht, die $N$ Exponenten $\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{N}$ die Wurzeln einer Gleichung $N$-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten. Sind überdies etwa die $M$ Exponenten $\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{M}$ von $0$ verschieden, während die übrigen verschwinden, so sind diese $M$ Exponenten $\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{M}$ die Wurzeln einer Gleichung $M$-ten Grades von der Gestalt

$f(z)=bz^{M}+b_{1}z^{M-1}+\cdots +b_{M}=0,$

deren Koeffizienten ebenfalls ganze rationale Zahlen sind und in welcher insbesondere der letzte Koeffizient $b_{M}$ von $0$ verschieden ist. Der obige Ausdruck erhält dann die Gestalt

$a+e^{\beta _{1}}+e^{\beta _{2}}+\cdots +e^{\beta _{M}},$

wo $a$ eine ganze positive Zahl ist.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 2. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/19&oldid=- (Version vom 31.7.2018)