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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/18

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1. Über die Transzendenz der Zahlen und .
[Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen S. 113–116 (1893). Mathem. Annalen Bd. 43, S. 216–219 (1893).]

Man nehme an, die Zahl genüge der Gleichung -ten Grades

,

deren Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind.

Wird die linke Seite dieser Gleichung mit dem Integral

multipliziert, wo eine ganze positive Zahl bedeutet, so entsteht der Ausdruck

und dieser Ausdruck zerlegt sich in die Summe der beiden folgenden Ausdrücke:

Die Formel

zeigt, daß das Integral eine ganze rationale durch teilbare Zahl ist und ebenso leicht folgt, wenn man bezüglich die Substitutionen anwendet, daß ganze rationale durch teilbare Zahlen sind. Daher ist auch eine durch teilbare ganze Zahl, und zwar gilt, wie man sieht, nach dem Modul die Kongruenz

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