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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/114

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Aus elementaren Sätzen der Determinantentheorie ergibt sich nun die Identität

wo

gesetzt ist, und hieraus folgt unmittelbar der Satz 39.

Der eben bewiesene Satz 39 zeigt nicht nur, daß die Diskriminante eines Körpers durch die Diskriminante eines jeden Unterkörpers teilbar ist, sondern gibt eine gewisse Potenz der letzteren an, welche in der Diskriminante des Oberkörpers aufgeht, und deckt auch zugleich die einfache Bedeutung des übrig bleibenden Faktors der Diskriminante des Oberkörpers auf.

§ 16. Die Zerlegung eines Elementes des Körpers im Oberkörper . Der Satz von der Differente des Oberkörpers .

Satz 40. Jedes Element des Unterkörpers ist dem Produkt von gewissen Elementen des Oberkörpers gleich, und zwar gelten die Formeln:

Beweis: Ist

die Fundamentalgleichung -ten Grades des Körpers , wobei , …‚ ganzzahlige Funktionen von , …‚ bedeuten, so gilt identisch in die Gleichung

.

Die Differente der Fundamentalform ist mithin wegen durch die Formel