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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.5

wo $\Phi _{1}$, …‚ $\Phi _{r}$ ganzzahlige Funktionen von $\xi$ und den Unbestimmten $u_{1}$, …, $u_{m}$‚ $U_{1}$, …, $U_{M}$ sind, und wo $\Phi _{0}$ eine rationale Einheitsform der Unbestimmten $u_{1}$ , …, $u_{m}$ ist, Die übrigen Wurzeln der obigen Gleichung $r$-ten Grades sind ${\mathsf {X}}=\Xi '$, …‚ $\Xi ^{(r-1)}$. Sodann sei $\xi ^{(h)}$ eine der $m-1$ zu $\xi$ konjugierten Fundamentalformen; die Wurzeln der Gleichung $r$-ten Grades $\Phi ({\mathsf {X}},\,\xi ^{(h)})=0$ mögen mit $\Xi _{(h)}$, $\Xi '_{(h)}$, …, $\Xi _{(h)}^{(r-1)}$ bezeichnet werden. Da nun $\xi$ einer Gleichung $m$-ten Grades genügt, so ist offenbar jede Potenz von $\Xi$ nach Multiplikation mit einer Potenz von $\Phi _{0}$ gleich einer ganzen Funktion von $\xi$ und $\Xi$, welche in $\xi$ höchstens bis zum Grade $m-1$ und in $\Xi$ höchstens bis zum Grade $r-1$ ansteigt, und deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen der Parameter $u_{1}$, …‚ $u_{m}$, $U_{1}$, …, $U_{M}$ sind. Infolgedessen ist notwendigerweise die Diskriminante der Fundamentalform $\Xi$ nach Multiplikation mit einer Potenz von $\Phi _{0}$ durch das Quadrat der $M=rm$-reihigen Determinante

$\Delta =\left|{\begin{array}{lllllllllllll}1,&\Xi ,&\ldots ,&\Xi ^{r-1},&\xi ,&\xi \Xi ,&\ldots ,&\xi \Xi ^{r-1},&\ldots ,&\xi ^{m-1},&\xi ^{m-1}\Xi ,&\ldots ,&\xi ^{m-1}\Xi ^{r-1}\\1,&\Xi ',&\ldots ,&\Xi ^{\prime r-1},&\xi ,&\xi \Xi ',&\ldots ,&\xi \Xi ^{\prime r-1},&\ldots ,&\xi ^{m-1},&\xi ^{m-1}\Xi ',&\ldots ,&\xi ^{m-1}\Xi ^{\prime r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1,&\Xi ^{(r-1)},&\ldots ,&\left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1},&\xi ,&\xi \Xi ^{(r-1)},&\ldots ,&\xi \left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1},&\ldots ,&\xi ^{m-1},&\xi ^{m-1}\Xi ^{(r-1)},&\ldots ,&\xi ^{m-1}\left(\Xi ^{(r-1)}\right)^{r-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{array}}\right|$

teilbar; hierbei sind in dem Schema nur die ersten $r$ Horizontalreihen hingeschrieben; die übrigen $r(m-1)$ Horizontalreihen entstehen, wenn man der Reihe nach allen Buchstaben $\xi$ die Zeichen $(h)=(1)$, …‚ $(m-1)$ als obere Indizes und zugleich allen Buchstaben $\Xi$ die nämlichen Zeichen als untere Indizes anfügt.

Drückt man nun die Elemente der Determinante $\Delta$ linear durch die Basiszahlen $\Omega _{1}$, …, $\Omega _{M}$ und deren Konjugierte aus, so erkennen wir die Richtigkeit der Formel

$\Delta =\left|{\begin{array}{lll}\Omega _{1},&\cdots ,&\Omega _{M}\\\Omega '_{1},&\cdots ,&\Omega '_{M}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Omega _{1}^{(M-1)},&\cdots ,&\Omega _{M}^{(M-1)}\\\end{array}}\right|F,$

wo $F$ eine ganzzahlige Funktion der Parameter $u_{1}$, …, $u_{m}$, $U_{1}$, …, $U_{m}$ bedeutet. Hieraus folgt, daß der Zahlenfaktor des Quadrates von $\Delta$ durch $D$ teilbar ist. Da aber der Zahlenfaktor der Diskriminante von $\Xi$ nach Satz 35 $=D$ wird, so folgt aus obiger Entwicklung, daß auch umgekehrt $D$ durch den Zahlenfaktor des Quadrates von $\Delta$ teilbar ist; d. h. der Zahlenfaktor von $\Delta ^{2}$ ist gleich $D$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 96. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/113&oldid=- (Version vom 31.7.2018)