5. Der Relativkörper.
§ 14. Die Relativnorm, die Relativdifferente und die Relativdiskriminante.
Die Begriffe Norm, Differente und Diskriminante sind einer wichtigen Verallgemeinerung fähig.
Ist
ein Körper vom Grade
, welcher sämtliche Zahlen des Körpers
vom
-ten Grade enthält, so heißt
ein Unterkörper von
. Der Körper
wird der Oberkörper von
oder der Relativkörper in bezug auf
genannt. Es sei
eine den Körper
bestimmende Zahl. Unter den unendlich vielen Gleichungen mit algebraischen, in
liegenden Koeffizienten, denen die Zahl
genügt, habe die folgende Gleichung vom Grade
|
(3)
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den niedrigsten Grad;
, …,
sind dann bestimmte Zahlen in
. Der Grad
heißt der Relativgrad des Körpers
in bezug auf
; es ist
. Die Gleichung (3) vom
-ten Grade ist im Rationalitätsbereich
irreduzibel. Sind
, …,
die
anderen Wurzeln der Gleichung (3), so heißen diese
algebraischen Zahlen die zu
relativ konjugierten Zahlen, und die bez.
durch
, …,
bestimmten Körper
, …,
heißen die zu
relativ konjugierten Körper. Ist
eine beliebige Zahl des Körpers
, und ist
|
,
|
wo
,
, …,
Zahlen in
sind, so heißen die Zahlen
|
|
die bez. durch die Substitutionen
, …,
aus
entspringenden oder zu
relativ konjugierten Zahlen. Wendet man
auf die sämtlichen Zahlen eines Ideals
die Substitution
an, so heißt das
dann entstehende Ideal
das durch
aus
entspringende oder zu
relativ konjugierte Ideal.
Das Produkt einer Zahl
mit den relativ konjugierten Zahlen
|
|
heißt die Relativnorm der Zahl
bezüglich des Körpers oder Rationalitätsbereiches
. Die Relativnorm
ist eine Zahl in
. Ist
ein
beliebiges Ideal in
, so heißt das Produkt von
mit den sämtlichen relativ
konjugierten Idealen von
|
|
die Relativnorm des Ideals
. Die Relativnorm
ist ein Ideal des Körpers
.
Bedeuten nämlich
, …,
Unbestimmte, so sind die Koeffizienten des
Ausdruckes
|
|
ganze Zahlen in
, deren größter gemeinsamer Teile nach Satz 13 mit jenem
Idealprodukte übereinstimmen muß.
Wenn
, …,
beliebige Zahlen in
sind und
das durch sie bestimmte Ideal in
bezeichnet, so wird durch die nämlichen Zahlen auch
zugleich ein Ideal
im Körper
bestimmt. Dieses Ideal
ist als nicht verschieden von
anzusehen. Ein Ideal
des Körpers
wird umgekehrt dann und nur dann auch als ein Ideal
des Körpers
bezeichnet, wenn
sich zugleich als größter gemeinsamer Teiler von gewissen ganzen Zahlen
, …,
des Körpers
darstellen läßt. Daß wir berechtigt sind, unter den angegebenen Umständen (
, …,
) zugleich als ein Ideal in
und in
anzusehen, lehrt der folgende Satz: Wenn
, …,
und
, …,
ganze Zahlen in
sind, so daß in
die beiden Ideale
und
miteinander übereinstimmen, so
stimmen auch in
die beiden Ideale
und
miteinander überein. In der Tat, wegen der Voraussetzung gilt, wenn
eine der Zahlen
, …,
bedeutet, eine Gleichung von der Gestalt
, wo
, …,
gewisse ganze Zahlen in
sind.
Wenn wir nun von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, so
erkennen wir, daß im Körper
die Zahl
durch
teilbar sein muß;
infolgedessen ist in
auch
durch
und daher auch
durch
teilbar. Da in
gleicher Weise das Umgekehrte gezeigt werden kann, so haben wir notwendig
in
die Gleichung
.
Der Ausdruck
|
|
stellt eine Zahl des Körpers
dar und heißt die Relativdifferente der Zahl
in bezug auf den Körper
. Der Ausdruck
|
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heißt die Relativdiskriminante der Zahl
. Dieselbe ist bis auf das Vorzeichen gleich der Relativnorm der Relativdifferente von
; es ist nämlich
.
Sind
, …,
die
Basiszahlen des Körpers
, so heißt das durch
Multiplikation der
Elemente
|
|
entstehende Ideal
|
|
die Relativdifferente des Körpers
in bezug auf
. Bezeichnet
|
|
die Fundamentalform von
, so ist die Relativdifferente von
|
.
|
Die Koeffizienten dieser Form sind Zahlen des Körpers
, und da nach dem
Satze 13 der größte gemeinsame Teiler derselben die Relativdifferente
ergeben muß, so ist
ein Ideal des Körpers
.
Das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers aller
-reihigen Determinanten der Matrix
|
(4)
|
heißt die
Relativdiskriminante
des Körpers ![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
bezüglich
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
; dieselbe ist, wie
leicht ersichtlich, ein Ideal des Körpers
.
§ 15. Eigenschaften der Relativdifferente und der
Relativdiskriminante eines Körpers.
Hinsichtlich der soeben definierten Begriffe gelten folgende Sätze [Hilbert (4[1])]:
Satz 38. Die Relativdiskriminante des Körpers
in bezug auf den
Unterkörper
ist gleich der Relativnorm der Relativdifferente von
, d. h.
|
.
|
Beweis: Die Relativnorm von der Relativdifferente der Fundamentalform
ist
|
|
Andererseits ist das rechtsstehende Determinantenquadrat eine Form des
Körpers
, deren Inhalt gleich der Relativdiskriminante
ist. Drücken
wir nämlich die Terme der obigen Determinante linear durch
, …,
bezüglich durch die konjugierten Basiszahlen des Körpers
aus, wobei die
Koeffizienten in diesen Ausdrücken ganzzahlige Funktionen von
, …,
sind, so erkennen wir, daß jenes Determinantenquadrat lauter durch
teilbare Koeffizienten besitzt. Umgekehrt zeigt eine Übertragung des Satzes 36,
daß eine jede
-reihige Determinante der Matrix (4) nach Multiplikation mit
der
-ten Potenz einer gewissen in den Parametern
, …‚
geschriebenen
rationalen Einheitsform durch das Differenzenprodukt
|
|
teilbar wird. Daraus folgt
.
Satz 39. Bedeuten
und
die Diskriminanten des Oberkörpers
und
des Unterkörpers
und bezeichnet
die Norm der Relativdiskriminante
, genommen im Körper
, so ist
|
.
|
Beweis: Ist
die Fundamentalform des Körpers
,
so genügt
, für
gesetzt, einer Gleichung
-ten Grades in
von der Gestalt
|
,
|
wo
![{\displaystyle \Phi _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc515abd3340c75485903ff2097d7efb0161c7d)
, …‚
![{\displaystyle \Phi _{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ae8364cdaeba1d2c96d9683e1b53cf4be06b3e)
ganzzahlige Funktionen von
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
und den Unbestimmten
, …,
‚
, …,
sind, und wo
eine rationale Einheitsform der Unbestimmten
, …,
ist, Die übrigen Wurzeln der obigen Gleichung
-ten Grades
sind
, …‚
. Sodann sei
eine der
zu
konjugierten
Fundamentalformen; die Wurzeln der Gleichung
-ten Grades
mögen mit
,
, …,
bezeichnet werden. Da nun
einer Gleichung
-ten Grades genügt, so ist offenbar jede Potenz von
nach Multiplikation mit einer Potenz von
gleich einer ganzen Funktion von
und
,
welche in
höchstens bis zum Grade
und in
höchstens bis zum Grade
ansteigt, und deren Koeffizienten ganzzahlige Funktionen der Parameter
, …‚
,
, …,
sind. Infolgedessen ist notwendigerweise die
Diskriminante der Fundamentalform
nach Multiplikation mit einer Potenz
von
durch das Quadrat der
-reihigen Determinante
|
|
teilbar; hierbei sind in dem Schema nur die ersten
Horizontalreihen hingeschrieben; die übrigen
Horizontalreihen entstehen, wenn man der
Reihe nach allen Buchstaben
die Zeichen
, …‚
als obere
Indizes und zugleich allen Buchstaben
die nämlichen Zeichen als untere
Indizes anfügt.
Drückt man nun die Elemente der Determinante
linear durch die Basiszahlen
, …,
und deren Konjugierte aus, so erkennen wir die Richtigkeit der Formel
|
|
wo
eine ganzzahlige Funktion der Parameter
, …,
,
, …,
bedeutet. Hieraus folgt, daß der Zahlenfaktor des Quadrates von
durch
teilbar ist. Da aber der Zahlenfaktor der Diskriminante von
nach Satz 35
wird, so folgt aus obiger Entwicklung, daß auch umgekehrt
durch den
Zahlenfaktor des Quadrates von
teilbar ist; d. h. der Zahlenfaktor von
ist gleich
.
Aus elementaren Sätzen der Determinantentheorie ergibt sich nun die
Identität
|
|
wo
|
|
gesetzt ist, und hieraus folgt unmittelbar der Satz 39.
Der eben bewiesene Satz 39 zeigt nicht nur, daß die Diskriminante eines
Körpers durch die Diskriminante eines jeden Unterkörpers teilbar ist, sondern
gibt eine gewisse Potenz der letzteren an, welche in der Diskriminante des
Oberkörpers aufgeht, und deckt auch zugleich die einfache Bedeutung des
übrig bleibenden Faktors der Diskriminante des Oberkörpers auf.
Satz 40. Jedes Element des Unterkörpers
ist dem Produkt von gewissen
Elementen des Oberkörpers
gleich, und zwar gelten die Formeln:
|
|
Beweis: Ist
|
|
die Fundamentalgleichung
-ten Grades des Körpers
, wobei
, …‚
ganzzahlige Funktionen von
, …‚
bedeuten, so gilt identisch in
die
Gleichung
|
.
|
Die Differente der Fundamentalform
ist mithin wegen
durch die Formel
|
|
dargestellt. Nun ist einerseits
,
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(5)
|
und andererseits ist
,
|
(6)
|
wo
eine ganze algebraische Form bedeutet; aus diesen Formeln folgt:
.
|
|
Da
die Relativdifferente von
darstellt, so folgt nach Satz 13 aus der letzten Formel
,
|
(7)
|
wo
die Differente von
,
die Relativdifferente von
in bezug auf
,
die Differente von
und wo
dasjenige Ideal bedeutet, welches den Inhalt der Form
ausmacht. Durch Normbildung ergibt sich
‚ und folglich ist nach Satz 39
, d. h.
. Die Formen
, …,
sind daher sämtlich Einheitsformen, und die Formeln (5) und (6) beweisen unseren Satz 40.
Der Satz 40 liefert die Zerlegung der Elemente des Körpers
im Oberkörper
; er ist das Fundament der Theorie der Diskriminanten. Die Formel (7) liefert überdies die wichtige Tatsache:
Satz 41. Die Differente
des Körpers
ist gleich dem Produkt der Relativdifferente
von
in bezug auf den Unterkörper
und der Differente
des Körpers
, d. h. es ist
.
|
|
Nach diesem Satze ist das Verhalten der Differenten beim Übergange von dem Unterkörper in den Oberkörper von merkwürdiger Einfachheit: man bekommt die Differente des höheren Körpers, indem man die Differente des niederen Körpers mit der betreffenden Relativdifferente multipliziert.