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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.6

dargestellt. Nun ist einerseits

${\underset {(h=1,\ 2,\ \dots ,\ m-1)}{\Phi \left(\Xi ,\ \xi ^{(h)}\right)=\Phi _{0}\left(\Xi -\Xi _{(h)}\right)\left(\Xi -\Xi '_{(h)}\right)\cdots \left(\Xi -\Xi _{(h)}^{(r-1)}\right)}}$,

(5)

und andererseits ist

$\Phi \left(\Xi ,\ \xi ^{(h)}\right)=\Phi \left(\Xi ,\ \xi ^{(h)}\right)-\Phi \left(\Xi ,\ \xi \right)=\left(\xi -\xi ^{(h)}\right)G^{(h)}$,

(6)

wo $G^{(h)}$ eine ganze algebraische Form bedeutet; aus diesen Formeln folgt:

$\Phi _{0}^{m}{\frac {\partial F(\Xi )}{\partial \Xi }}={\frac {\partial \Phi (\Xi ,\ \xi )}{\partial \Xi }}\left(\xi -\xi '\right)\cdots \left(\xi -\xi ^{(m-1)}\right)G'\cdots G^{(m-1)}$.

Da ${\frac {1}{\Phi _{0}}}{\frac {\partial \Phi (\Xi ,\ \xi )}{\partial \Xi }}$ die Relativdifferente von $\Xi$ darstellt, so folgt nach Satz 13 aus der letzten Formel

${\mathfrak {D}}={\mathfrak {D}}_{k}{\mathfrak {d}}{\mathfrak {J}}$,

(7)

wo ${\mathfrak {D}}$ die Differente von $K$, ${\mathfrak {D}}_{k}$ die Relativdifferente von $K$ in bezug auf $k$, ${\mathfrak {d}}$ die Differente von $k$ und wo ${\mathfrak {J}}$ dasjenige Ideal bedeutet, welches den Inhalt der Form $G'\ \dots G^{(m-1)}$ ausmacht. Durch Normbildung ergibt sich $D=n(D_{k})d^{r}N({\mathfrak {J}})$‚ und folglich ist nach Satz 39 $N({\mathfrak {J}})=1$, d. h. ${\mathfrak {J}}=1$. Die Formen $G'$, …, $G^{(m-1)}$ sind daher sämtlich Einheitsformen, und die Formeln (5) und (6) beweisen unseren Satz 40.

Der Satz 40 liefert die Zerlegung der Elemente des Körpers $k$ im Oberkörper $K$; er ist das Fundament der Theorie der Diskriminanten. Die Formel (7) liefert überdies die wichtige Tatsache:

Satz 41. Die Differente ${\mathfrak {D}}$ des Körpers $K$ ist gleich dem Produkt der Relativdifferente ${\mathfrak {D}}_{k}$ von $K$ in bezug auf den Unterkörper $k$ und der Differente ${\mathfrak {d}}$ des Körpers $k$, d. h. es ist

${\mathfrak {D}}={\mathfrak {D}}_{k}{\mathfrak {d}}$.

Nach diesem Satze ist das Verhalten der Differenten beim Übergange von dem Unterkörper in den Oberkörper von merkwürdiger Einfachheit: man bekommt die Differente des höheren Körpers, indem man die Differente des niederen Körpers mit der betreffenden Relativdifferente multipliziert.

6. Die Einheiten des Körpers.

§ 17. Die Existenz konjugierter Zahlen, deren absolute Beträge gewissen Ungleichungen genügen.

Nachdem in Kapitel 2 die Teilbarkeitsgesetze der Zahlen eines algebraischen Körpers ausführlich behandelt sind, gehen wir dazu über, diejenigen Wahrheiten zu entwickeln, bei deren Ergründung der Größenbegriff eine wesentliche Rolle spielt. Das wichtigste Hilfsmittel bei diesen Untersuchungen bildet der folgende Satz [Minkowski (3^[1])]:

Hilfssatz 6. Sind

${\begin{aligned}f_{1}&=a_{11}u_{1}+\cdots +a_{1m}u_{m},\\&\qquad \qquad \quad \vdots \\f_{m}&=a_{m1}u_{1}+\cdots +a_{mm}u_{m}\end{aligned}}$

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1. Geometrie der Zahlen. Leipzig 1896.

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 98. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/115&oldid=- (Version vom 31.7.2018)