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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/111

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und , …, ganze Zahlen in sind, so daß in die beiden Ideale und miteinander übereinstimmen, so stimmen auch in die beiden Ideale und miteinander überein. In der Tat, wegen der Voraussetzung gilt, wenn eine der Zahlen , …, bedeutet, eine Gleichung von der Gestalt , wo , …, gewisse ganze Zahlen in sind. Wenn wir nun von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, so erkennen wir, daß im Körper die Zahl durch teilbar sein muß; infolgedessen ist in auch durch und daher auch durch teilbar. Da in gleicher Weise das Umgekehrte gezeigt werden kann, so haben wir notwendig in die Gleichung .

Der Ausdruck

stellt eine Zahl des Körpers dar und heißt die Relativdifferente der Zahl in bezug auf den Körper . Der Ausdruck

heißt die Relativdiskriminante der Zahl . Dieselbe ist bis auf das Vorzeichen gleich der Relativnorm der Relativdifferente von ; es ist nämlich .

Sind , …, die Basiszahlen des Körpers , so heißt das durch Multiplikation der Elemente

entstehende Ideal

die Relativdifferente des Körpers in bezug auf . Bezeichnet

die Fundamentalform von , so ist die Relativdifferente von

.

Die Koeffizienten dieser Form sind Zahlen des Körpers , und da nach dem Satze 13 der größte gemeinsame Teiler derselben die Relativdifferente ergeben muß, so ist ein Ideal des Körpers .

Das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers aller -reihigen Determinanten der Matrix

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