und
, …,
ganze Zahlen in
sind, so daß in
die beiden Ideale
und
miteinander übereinstimmen, so
stimmen auch in
die beiden Ideale
und
miteinander überein. In der Tat, wegen der Voraussetzung gilt, wenn
eine der Zahlen
, …,
bedeutet, eine Gleichung von der Gestalt
, wo
, …,
gewisse ganze Zahlen in
sind.
Wenn wir nun von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, so
erkennen wir, daß im Körper
die Zahl
durch
teilbar sein muß;
infolgedessen ist in
auch
durch
und daher auch
durch
teilbar. Da in
gleicher Weise das Umgekehrte gezeigt werden kann, so haben wir notwendig
in
die Gleichung
.
Der Ausdruck
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stellt eine Zahl des Körpers
dar und heißt die Relativdifferente der Zahl
in bezug auf den Körper
. Der Ausdruck
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heißt die Relativdiskriminante der Zahl
. Dieselbe ist bis auf das Vorzeichen gleich der Relativnorm der Relativdifferente von
; es ist nämlich
.
Sind
, …,
die
Basiszahlen des Körpers
, so heißt das durch
Multiplikation der
Elemente
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entstehende Ideal
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die Relativdifferente des Körpers
in bezug auf
. Bezeichnet
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die Fundamentalform von
, so ist die Relativdifferente von
|
.
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Die Koeffizienten dieser Form sind Zahlen des Körpers
, und da nach dem
Satze 13 der größte gemeinsame Teiler derselben die Relativdifferente
ergeben muß, so ist
ein Ideal des Körpers
.
Das Quadrat des größten gemeinsamen Teilers aller
-reihigen Determinanten der Matrix
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(4)
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