heißt der Relativgrad des Körpers
in bezug auf
; es ist
. Die Gleichung (3) vom
-ten Grade ist im Rationalitätsbereich
irreduzibel. Sind
, …,
die
anderen Wurzeln der Gleichung (3), so heißen diese
algebraischen Zahlen die zu
relativ konjugierten Zahlen, und die bez.
durch
, …,
bestimmten Körper
, …,
heißen die zu
relativ konjugierten Körper. Ist
eine beliebige Zahl des Körpers
, und ist
|
,
|
wo
,
, …,
Zahlen in
sind, so heißen die Zahlen
|
|
die bez. durch die Substitutionen
, …,
aus
entspringenden oder zu
relativ konjugierten Zahlen. Wendet man
auf die sämtlichen Zahlen eines Ideals
die Substitution
an, so heißt das
dann entstehende Ideal
das durch
aus
entspringende oder zu
relativ konjugierte Ideal.
Das Produkt einer Zahl
mit den relativ konjugierten Zahlen
|
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heißt die Relativnorm der Zahl
bezüglich des Körpers oder Rationalitätsbereiches
. Die Relativnorm
ist eine Zahl in
. Ist
ein
beliebiges Ideal in
, so heißt das Produkt von
mit den sämtlichen relativ
konjugierten Idealen von
|
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die Relativnorm des Ideals
. Die Relativnorm
ist ein Ideal des Körpers
.
Bedeuten nämlich
, …,
Unbestimmte, so sind die Koeffizienten des
Ausdruckes
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ganze Zahlen in
, deren größter gemeinsamer Teile nach Satz 13 mit jenem
Idealprodukte übereinstimmen muß.
Wenn
, …,
beliebige Zahlen in
sind und
das durch sie bestimmte Ideal in
bezeichnet, so wird durch die nämlichen Zahlen auch
zugleich ein Ideal
im Körper
bestimmt. Dieses Ideal
ist als nicht verschieden von
anzusehen. Ein Ideal
des Körpers
wird umgekehrt dann und nur dann auch als ein Ideal
des Körpers
bezeichnet, wenn
sich zugleich als größter gemeinsamer Teiler von gewissen ganzen Zahlen
, …,
des Körpers
darstellen läßt. Daß wir berechtigt sind, unter den angegebenen Umständen (
, …,
) zugleich als ein Ideal in
und in
anzusehen, lehrt der folgende Satz: Wenn
, …,