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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/110

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heißt der Relativgrad des Körpers in bezug auf ; es ist . Die Gleichung (3) vom -ten Grade ist im Rationalitätsbereich irreduzibel. Sind , …, die anderen Wurzeln der Gleichung (3), so heißen diese algebraischen Zahlen die zu relativ konjugierten Zahlen, und die bez. durch , …, bestimmten Körper , …, heißen die zu relativ konjugierten Körper. Ist eine beliebige Zahl des Körpers , und ist

,

wo , , …, Zahlen in sind, so heißen die Zahlen

die bez. durch die Substitutionen , …, aus entspringenden oder zu relativ konjugierten Zahlen. Wendet man auf die sämtlichen Zahlen eines Ideals die Substitution an, so heißt das dann entstehende Ideal das durch aus entspringende oder zu relativ konjugierte Ideal.

Das Produkt einer Zahl mit den relativ konjugierten Zahlen

heißt die Relativnorm der Zahl bezüglich des Körpers oder Rationalitätsbereiches . Die Relativnorm ist eine Zahl in . Ist ein beliebiges Ideal in , so heißt das Produkt von mit den sämtlichen relativ konjugierten Idealen von

die Relativnorm des Ideals . Die Relativnorm ist ein Ideal des Körpers . Bedeuten nämlich , …, Unbestimmte, so sind die Koeffizienten des Ausdruckes

ganze Zahlen in , deren größter gemeinsamer Teile nach Satz 13 mit jenem Idealprodukte übereinstimmen muß.

Wenn , …, beliebige Zahlen in sind und das durch sie bestimmte Ideal in bezeichnet, so wird durch die nämlichen Zahlen auch zugleich ein Ideal im Körper bestimmt. Dieses Ideal ist als nicht verschieden von anzusehen. Ein Ideal des Körpers wird umgekehrt dann und nur dann auch als ein Ideal des Körpers bezeichnet, wenn sich zugleich als größter gemeinsamer Teiler von gewissen ganzen Zahlen , …, des Körpers darstellen läßt. Daß wir berechtigt sind, unter den angegebenen Umständen (, …, ) zugleich als ein Ideal in und in anzusehen, lehrt der folgende Satz: Wenn , …,