Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 68.

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§. 68. Das Integral $\int (X\,dx+Q\,dy+Z\,dz)$.

 Nach dieser Vorbereitung kehren wir zu dem Integral (4) des §. 66 zurück. Wir nehmen eine stetig gekrümmte Fläche zu Hülfe, die ganz im endlichen Gebiete liegt, und die den vorgeschriebenen Integrationsweg zur vollständigen und alleinigen Begrenzung hat. Die Gleichung dieser Fläche sei

(1)	$z=f(x,\,y).$

Da der vorgeschriebene Integrationsweg auf der Fläche liegt, so hat man in §. 66, (4)

$dz={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy$

zu setzen und aus $X,\,Y,\,Z\!$ die Coordinate $z\!$ mit Hülfe der Gleichung (1) zu eliminiren. Dadurch geht das Integral (4) des §. 66 über in

(2)	$\int \left\lbrace \left(X+Z\,{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)dx+\left(Y+Z\,{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dy\right\rbrace ,$

und hier ist die Integration durch die in der $xy\!$-Ebene liegende Projection der gegebenen Curve zu erstrecken.

 Das Coordinatensystem lässt sich immer so legen, dass diese Projection ebenso einfach in sich zurückläuft wie die projicirte Curve selbst, und dass sie bei der Integration (2) im positiven Sinne durchlaufen wird, d. h. dass (von einem Punkte der positiven $z\!$-Axe aus gesehen) die Tangente in der Richtung des

Fig. 37.

wachsenden Bogens zu der nach innen gezogenen Normale ebenso liegt wie die Axe der positiven $x\!$ zu der Axe der positiven $y\!$ (Fig. 36 und Fig. 37). Bei dieser Lage, die wir der Einfachheit wegen und ohne Schaden für die Allgemeinheit der Untersuchung voraussetzen dürfen, lässt sich auch die Fläche (1) so einrichten, dass ihre Projection einfach der Theil der $xy\!$-Ebene ist, welchen die Projection ihrer Begrenzungscurve umschliesst. Dann ist die durch die Gleichung (1) ausgedrückte Function $z\!$ nebst ihren ersten Derivirten einwerthig, endlich und stetig variabel für das ganze Werthengebiet von $x\!$ und $y\!$, welches hier in Betracht kommt. Da die Functionen $X,\,Y,\,Z$ ebenfalls einwerthig, endlich und stetig variabel sind, so dürfen wir in der Untersuchung des vorigen Paragraphen speciell setzen

(3)	$P=X+Z\,{\frac {\partial f}{\partial x}},\,$ $Q=Y+Z\,{\frac {\partial f}{\partial y}}.\,$

Dadurch ergibt sich

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial X}{\partial y}}+{\frac {\partial X}{\partial z}}\,{\frac {\partial f}{\partial y}}+\left({\frac {\partial Z}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\,{\frac {\partial f}{\partial y}}\right){\frac {\partial f}{\partial x}}+Z\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\,$ ${\frac {\partial Q}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial z}}\,{\frac {\partial f}{\partial x}}+\left({\frac {\partial Z}{\partial x}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\,{\frac {\partial f}{\partial x}}\right){\frac {\partial f}{\partial y}}+Z\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}.\,$

 Folglich haben wir hier

(4)	${\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}$

$=\left({\frac {\partial X}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}\right)-\left({\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}}\right){\frac {\partial f}{\partial x}}-\left({\frac {\partial Z}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial z}}\right){\frac {\partial f}{\partial y}}.$

 Wenn nun die Curve, durch welche das Integral

$\int (Xdx+Ydy+Zdz)\,$

erstreckt werden soll, nicht kettenförmig mit dem Leiter des galvanischen Stromes verschlungen ist, so lässt sich die Fläche (1) immer so legen, dass sie keinen Punkt mit diesem Leiter gemein hat. Dann sind für jeden Punkt der Fläche die Gleichungen (2) des §. 66 erfüllt, und folglich geht die Gleichung (4) über in

(5)	${\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}=0.\,$

Es gilt also auch die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen, d. h. es ist

(6)	$\int (Xdx+Ydy+Zdz)=0,\,$

wenn dieses Integral durch eine in sich zurücklaufende Curve erstreckt wird, die nicht kettenförmig mit dem Leiter des galvanischen Stromes verschlungen ist.

 Wenn dagegen die Integrationscurve mit dem Stromleiter kettenförmig verschlungen ist, so ist es unmöglich, die Fläche (1) so zu legen, dass sie keinen Punkt mit dem Leiter gemein habe. Dann ist also die Gleichung (5) nicht überall erfüllt und deshalb hat auch das Integral (6) nicht den Werth Null.

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