Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 69.

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§. 69. Die Potentialfunction $V\,$ der elektromagnetischen Kräfte.

 Wir legen eine Fläche $S\,$ in der Weise, dass der Leiter des galvanischen Stromes ihre vollständige und alleinige Begrenzung bilde. Dann gilt der Satz (6) des vorigen Paragraphen für jeden Integrationsweg, welcher die Fläche $S\,$ nicht schneidet. Nehmen wir an irgend einer Stelle des Raumes den Anfangspunkt der Integration und erstrecken von da aus das Integral

$\int (Xdx+Ydy+Zdz)\,$

bis zum Punkte $(x,\,y,\,z)$ auf verschiedenen Wegen, von denen aber keiner die Fläche $S\,$ schneidet, so sind die Integralwerthe, die auf allen diesen Wegen zu Stande kommen, einander gleich. Das Integral (1) ist also eine Function $V\,$ von $x,\,y,\,z$, die überall ausserhalb der Fläche $S\,$ sich stetig ändert.

 Wir errichten in irgend einem Punkte der Fläche $S\,$ nach beiden Seiten hin die Normale und zählen darauf den Abstand $p\,$ von ihrem Fusspunkte aus positiv nach der einen, negativ nach der anderen Seite. Auf der positiven und auf der negativen Normale nehmen wir je einen Punkt unendlich nahe an der Fläche $S\,$, und bezeichnen die Werthe, welche die Function $V\,$ in ihnen annimmt, mit $\!V_{+0}$ und resp. $\!V_{-0}$. Die Differenz

$V_{+0}-V_{-0}\,$

ergibt sich, wenn man das Integral (1) von dem Punkte auf der negativen Normale nach dem unendlich nahe gelegenen Punkte auf der positiven Normale durch eine Curve erstreckt, welche die Fläche $S\,$ nicht schneidet.

 Nun sind aber $X,\,Y,\,Z$ im ganzen unendlichen Raume ausserhalb der Strombahn einwerthig, endlich und stetig variabel. Daraus folgt, dass in unendlicher Nähe der Fläche $S\,$ die Derivirte von $V\,$, sowohl parallel als auch normal zur Fläche genommen, auf der positiven Seite denselben Werth hat, wie auf der negativen Seite. Es ist also für jede beliebige Stelle der Fläche

(2)	$\!V_{+0}-V_{-0}=A,$

wobei $A\,$ eine constante Grösse bezeichnet, und es ist ferner

(3)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}.$

 Vermöge der Gleichung (1) des §. 66 genügt die Function $V\,$ im ganzen unendlichen Raume ausserhalb der Strombahn der partiellen Differentialgleichung

(4)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,$

und sie hat den Werth Null in unendlicher Entfernung:

(5)	$V=0\,$ für $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\infty .\,$

 Diesen Bedingungen (2), (3), (4), (5) entsprechend, lässt sich die Function $V\,$ immer und nur in einer Weise herstellen, wie man mit Hülfe des Dirichlet'schen Princips leicht beweisen kann.

 Wir wollen statt dessen nach Green's Methode den Ausdruck für die Function $V\,$ direct bilden.

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