Schwere, Elektricität und Magnetismus:267

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 253
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Das Integral (4) des §. 66.

 Das Coordinatensystem lässt sich immer so legen, dass diese Projection ebenso einfach in sich zurückläuft wie die projicirte Curve selbst, und dass sie bei der Integration (2) im positiven Sinne durchlaufen wird, d. h. dass (von einem Punkte der positiven $z\!$-Axe aus gesehen) die Tangente in der Richtung des

Fig. 37.

wachsenden Bogens zu der nach innen gezogenen Normale ebenso liegt wie die Axe der positiven $x\!$ zu der Axe der positiven $y\!$ (Fig. 36 und Fig. 37). Bei dieser Lage, die wir der Einfachheit wegen und ohne Schaden für die Allgemeinheit der Untersuchung voraussetzen dürfen, lässt sich auch die Fläche (1) so einrichten, dass ihre Projection einfach der Theil der $xy\!$-Ebene ist, welchen die Projection ihrer Begrenzungscurve umschliesst. Dann ist die durch die Gleichung (1) ausgedrückte Function $z\!$ nebst ihren ersten Derivirten einwerthig, endlich und stetig variabel für das ganze Werthengebiet von $x\!$ und $y\!$, welches hier in Betracht kommt. Da die Functionen $X,\,Y,\,Z$ ebenfalls einwerthig, endlich und stetig variabel sind, so dürfen wir in der Untersuchung des vorigen Paragraphen speciell setzen

(3)	$P=X+Z\,{\frac {\partial f}{\partial x}},\,$ $Q=Y+Z\,{\frac {\partial f}{\partial y}}.\,$

Dadurch ergibt sich

${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial X}{\partial y}}+{\frac {\partial X}{\partial z}}\,{\frac {\partial f}{\partial y}}+\left({\frac {\partial Z}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\,{\frac {\partial f}{\partial y}}\right){\frac {\partial f}{\partial x}}+Z\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\,$ ${\frac {\partial Q}{\partial x}}={\frac {\partial Y}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial z}}\,{\frac {\partial f}{\partial x}}+\left({\frac {\partial Z}{\partial x}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\,{\frac {\partial f}{\partial x}}\right){\frac {\partial f}{\partial y}}+Z\,{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}.\,$

 Folglich haben wir hier

(4)	${\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}$

$=\left({\frac {\partial X}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}\right)-\left({\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}}\right){\frac {\partial f}{\partial x}}-\left({\frac {\partial Z}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial z}}\right){\frac {\partial f}{\partial y}}.$